Polinomio minimo di una mtrice
Come faccio a trovare il polinomio di una matrice?? io a lezione mi sembra di aver capito che scompone il polinomio caratteristico e sviluppa diversi casi con le potenze dei vari fattori... pero non ho ben capito l'algoritmo!! e non capisco perche rientri nell'argomento della forma di jordan...
Risposte
Il polinomio minimo è il polinomio monico di grado minimo che annulla la matrice/operatore. Questo significa che in particolare è un divisore del polinomio caratteristico o come dicono gli algebristi l'insieme dei polinomi che annullano la matrice è un ideale generato dal solo polinomio minimo. Quindi se sai determinare i fattori irriducibili del polinomio caratteristico, essi saranno anche tutti e soli i fattori irriducibili del polinomio minimo. Per calcolarlo operativamente prendi il polinomio caratteristico, ne trovi i fattori irriducibili, li metti insieme in tutti i modi e controlli che il polinomio che ottieni via via annulli la matrice. Di quei polinomi che avrai trovato che annullano la matrice prenderai quello di grado minimo e avrai trovato il polinomio minimo.
Il polinomio minimo serve per il calcolo della forma di Jordan in quanto è dagli esponenti con cui compaiono i fattori primi nel polinomio minimo che si calcolano le dimensioni dei blocchi di Jordan.
Il polinomio minimo serve per il calcolo della forma di Jordan in quanto è dagli esponenti con cui compaiono i fattori primi nel polinomio minimo che si calcolano le dimensioni dei blocchi di Jordan.
Be allora calcolare il polinomio minimo e' un altro modo per ricavare la forma di jordan?? perche' io la forma di jordan la calcolo cosi': trovo la dimensione della matrice $A - tI$, con $t$ l'autovalore in questione, e via via trovo tutti i ranghi delle potenze di questa matrice finche' non si annulla... e poi da questi risultati, ricavo il numero e la dimensione dei blocchi rispetto all'autovalore $t$... con il polinomio minimo invece e' una strada piu veloce o e' solamente un modo alternativo all'algoritmo che ho appena detto?? Grazie mille dell'aiuto perche' sul libro di algebra lineare non ci capisco granche', fa un casino ed e' tutto astratto!!
Non è un modo alternativo. Jordanizzare una matrice è tipo giocare con i lego. Calcolare il polinomio minimo è un primo grosso passo per il calcolo della Jordan di A. Se sei fortunato il polinomio minimo ti dice già tutto altrimenti devi lavorare ancora un po'. Infatti in generale ci sono coppie di matrici che hanno lo stesso polinomio minimo e caratteristico ma diverse forme di Jordan (cioè non sono simili).
Per la precisione, si dimostra che la molteplicità di un autovalore nel polinomio minimo (sottolineo: in quello minimo) è uguale alla dimensione del massimo blocco di Jordan relativo a quell'autovalore.
Esempio facile (3x3):
Considera il caso di una matrice di ordine 3 con un solo autovalore $\lambda$. Esistono 3 matrici (a meno di similitudine) di questo tipo e le 3 forme di Jordan associate sono:
$A_1 = ((\lambda, , ),(,\lambda,),(, ,\lambda))$
$A_2 = ((\lambda,1 , ),(,\lambda,),(, ,\lambda))$
$A_3 = ((\lambda,1 , ),(,\lambda,1),(, ,\lambda))$
Le tre matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico: $p_1=p_2=p_3=(x-\lambda)^3$.
La prima è la diagonale, il blocco di J. di ordine massimo ha ordine 1 e infatti il polinomio minimo se lo calcoli viene $m_1=(x-\lambda)$.
La seconda ha un blocco di ordine 1 e un blocco di ordine 2 e infatti il polinomio minimo è $m_2=(x-\lambda)^2$
La terza ha un unico blocco di ordine 3 è infatti il polinomio minimo è $m_3=p_3$.
In questo esempio il polinomio minimo ti dice esattamente qual è la forma di Jordan.
Ora però considera un caso in cui hai un autovalore di molteplicità algebrica 5 nel polinomio caratteristico e molteplicità algebrica 3 nel polinomio minimo. Allora sai che il blocco di J. di ordine massimo relativo a tale autovalore ha ordine 3, ti restano 2 righe da riempire, hai due possibilità: un blocco da 2 o due blocchi da 1. Come fai a sapere quale delle due situazioni hai davanti?
In questo caso il polinomio minimo da solo non basta, ti serve la molteplicità geometrica dell'autovalore che si dimostra essere uguale al numero di blocchi relativi all'autovalore considerato. Così se trovi che la molteplicità geometrica è 2 vuol dire che in tutto ci saranno un blocco di ordine 3 e uno di ordine 2, se la molteplicità geometrica è 3 allora avrai un blocco di ordine 3 e due blocchi di ordine 1.
Capisci che man mano che l'ordine complessivo della matrice cresce ottieni una sempre più vasta varietà di situazioni per cui a volte bisogna un po' arrangiarsi.
Esempio già un po' folle: un autovalore ha molteplicità algebrica 15 nel polinomio caratteristico e molteplicità 5 nel polinomio minimo. La molteplicità geometrica è 5.
Allora ci sono almeno queste due possibilità:
5+4+2+2+2
5+4+3+2+1
e senza ulteriori indagini non hai modo di sapere in quale delle due situazioni ti trovi.
Per quanto riguarda gli esami universitari, difficilmente ti verrà richiesto di jordanizzare una matrice di ordine superiore al 6° quindi non dovresti trovare situazioni troppo patologiche. In molti casi è preferibile non partire dal polinomio minimo ma dalle molteplicità geometrica ed algebrica degli autovalori e usare il polinomio minimo come conferma.
A.
Per la precisione, si dimostra che la molteplicità di un autovalore nel polinomio minimo (sottolineo: in quello minimo) è uguale alla dimensione del massimo blocco di Jordan relativo a quell'autovalore.
Esempio facile (3x3):
Considera il caso di una matrice di ordine 3 con un solo autovalore $\lambda$. Esistono 3 matrici (a meno di similitudine) di questo tipo e le 3 forme di Jordan associate sono:
$A_1 = ((\lambda, , ),(,\lambda,),(, ,\lambda))$
$A_2 = ((\lambda,1 , ),(,\lambda,),(, ,\lambda))$
$A_3 = ((\lambda,1 , ),(,\lambda,1),(, ,\lambda))$
Le tre matrici hanno lo stesso polinomio caratteristico: $p_1=p_2=p_3=(x-\lambda)^3$.
La prima è la diagonale, il blocco di J. di ordine massimo ha ordine 1 e infatti il polinomio minimo se lo calcoli viene $m_1=(x-\lambda)$.
La seconda ha un blocco di ordine 1 e un blocco di ordine 2 e infatti il polinomio minimo è $m_2=(x-\lambda)^2$
La terza ha un unico blocco di ordine 3 è infatti il polinomio minimo è $m_3=p_3$.
In questo esempio il polinomio minimo ti dice esattamente qual è la forma di Jordan.
Ora però considera un caso in cui hai un autovalore di molteplicità algebrica 5 nel polinomio caratteristico e molteplicità algebrica 3 nel polinomio minimo. Allora sai che il blocco di J. di ordine massimo relativo a tale autovalore ha ordine 3, ti restano 2 righe da riempire, hai due possibilità: un blocco da 2 o due blocchi da 1. Come fai a sapere quale delle due situazioni hai davanti?
In questo caso il polinomio minimo da solo non basta, ti serve la molteplicità geometrica dell'autovalore che si dimostra essere uguale al numero di blocchi relativi all'autovalore considerato. Così se trovi che la molteplicità geometrica è 2 vuol dire che in tutto ci saranno un blocco di ordine 3 e uno di ordine 2, se la molteplicità geometrica è 3 allora avrai un blocco di ordine 3 e due blocchi di ordine 1.
Capisci che man mano che l'ordine complessivo della matrice cresce ottieni una sempre più vasta varietà di situazioni per cui a volte bisogna un po' arrangiarsi.
Esempio già un po' folle: un autovalore ha molteplicità algebrica 15 nel polinomio caratteristico e molteplicità 5 nel polinomio minimo. La molteplicità geometrica è 5.
Allora ci sono almeno queste due possibilità:
5+4+2+2+2
5+4+3+2+1
e senza ulteriori indagini non hai modo di sapere in quale delle due situazioni ti trovi.
Per quanto riguarda gli esami universitari, difficilmente ti verrà richiesto di jordanizzare una matrice di ordine superiore al 6° quindi non dovresti trovare situazioni troppo patologiche. In molti casi è preferibile non partire dal polinomio minimo ma dalle molteplicità geometrica ed algebrica degli autovalori e usare il polinomio minimo come conferma.
A.
Ciao a tutti..
Riapro la discussione in quanto ho un quesito da proporvi a riguardo..
Ho il polinomio caratteristico e il polinomio minimo,e mi devo ricavare la forma canoninca di jordan..
tramite la molteplicità algebrica ricavo la somma degli ordini dei blocchi relativi all'autovalore in questione, tramite il grado del polinomio relativo all'autovalore in questione nel polinomio minimo ricavo il grado del massimo blocco, ma la molteplicità geometrica che mi serve per trovare il numero dei blocchi, da dove la posso ricavare?
Riapro la discussione in quanto ho un quesito da proporvi a riguardo..
Ho il polinomio caratteristico e il polinomio minimo,e mi devo ricavare la forma canoninca di jordan..
tramite la molteplicità algebrica ricavo la somma degli ordini dei blocchi relativi all'autovalore in questione, tramite il grado del polinomio relativo all'autovalore in questione nel polinomio minimo ricavo il grado del massimo blocco, ma la molteplicità geometrica che mi serve per trovare il numero dei blocchi, da dove la posso ricavare?
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