Polinomio minimo di una matrice con MCD monico
Salve a tutti! Mi trovo di fronte a esercizi che per ricavare il polinomio minimo di una matrice non fanno altro che fare il polinomio caratteristico / MCD monico. Quello che io non ho ben capito è come si calcola quest'ultimo valore (MCD monico).
Qualcuno mi sa dare una dritta?
Grazie mille!
Qualcuno mi sa dare una dritta?
Grazie mille!
Risposte
Vorrei capire se ti riferisci allo stesso oggetto a cui sto pensando io.
Cosa intendi per "MCD monico"? E' un polinomio monico, massimo comun divisore, ok, ma fra cosa?
Non conosciamo le notazioni e le definizioni che state usando a lezione...
Cosa intendi per "MCD monico"? E' un polinomio monico, massimo comun divisore, ok, ma fra cosa?
Non conosciamo le notazioni e le definizioni che state usando a lezione...
"cirasa":
Vorrei capire se ti riferisci allo stesso oggetto a cui sto pensando io.
Cosa intendi per "MCD monico"? E' un polinomio monico, massimo comun divisore, ok, ma fra cosa?
Non conosciamo le notazioni e le definizioni che state usando a lezione...
Faccio un esempio:
A= $[[1,0,0,0],[1,1,0,0],[0,1,1,0],[-1,-1,0,1]]$
p($\lambda$)= det ($\lambda$ I - A) = $(\lambda -1) ^4$
poi fa:
il polinomio minimo è :
m($\lambda$) =p($\lambda$) / b($\lambda$) = $(\lambda-1)^3$
dove b($\lambda$) è massimo comun divisore monico della matrice A.
Fino a trovare il polinomio caratteristico ci arrivo, ma trovare quello minimo non ci salto fuori.
Grazie per l'aiuto!!
In realtà, nel tuo caso è già sbagliato il calcolo del polinomio caratteristico, giusto?
"cirasa":
In realtà, nel tuo caso è già sbagliato il calcolo del polinomio caratteristico, giusto?
Errore di ricopiatura..sorry. Adesso la matrice A è scritta bene..
Con il termine "MCD monico" penso che tu ti riferisca al MCD dei minori di ordine $n-1$ estratti dalla matrice $\lambdaI-A$.
Prova a controllare.
Prova a controllare.
"cirasa":
Con il termine "MCD monico" penso che tu ti riferisca al MCD dei minori di ordine $n-1$ estratti dalla matrice $\lambdaI-A$.
Prova a controllare.
Si forse è così, infatti qui dice i minori di ordine 3..ma come si fanno a trovare? Grazie!
Ci sono $16$ minori di ordine $3$ nella tua matrice $\lambdaI-A$. Per trovarli tutti puoi fare così: prendi un elemento della matrice $\lambdaI-A$, elimini tutta la colonna e tutta la riga ad esso corrispondente e trovi una sua sottomatrice quadrata di ordine $3$. Tutti i minori di ordine $3$ sono i determinanti di tutte queste sottomatrici.
Ti accorgerai subito che il procedimento è di una noia mortale. Ci sono altri metodi più veloci per trovare questo MCD, ma non so se ne hai mai sentito parlare. In che tipo di corso stai facendo questi esercizi?
Ti accorgerai subito che il procedimento è di una noia mortale. Ci sono altri metodi più veloci per trovare questo MCD, ma non so se ne hai mai sentito parlare. In che tipo di corso stai facendo questi esercizi?
"cirasa":
Ci sono $16$ minori di ordine $3$ nella tua matrice $\lambdaI-A$. Per trovarli tutti puoi fare così: prendi un elemento della matrice $\lambdaI-A$, elimini tutta la colonna e tutta la riga ad esso corrispondente e trovi una sua sottomatrice quadrata di ordine $3$. Tutti i minori di ordine $3$ sono i determinanti di tutte queste sottomatrici.
Ti accorgerai subito che il procedimento è di una noia mortale. Ci sono altri metodi più veloci per trovare questo MCD, ma non so se ne hai mai sentito parlare. In che tipo di corso stai facendo questi esercizi?
Sistemi multivariabili...altre facoltà ce l'hanno come analisi di sistemi. Ho capito il procedimento che mi hai descritto, ma come dici tu diventa lunghissimo..che altri metodi ci sono?
Ti propongo un altro metodo:
Puoi cercare di scrivere la matrice $\lambdaI-A$ in forma diagonale mediante operazioni elementari del tipo aggiungere ad una riga un'altra moltiplicata per un polinomio non nullo oppure aggiungere ad una colonna un'altra moltiplicata per un polinomio non nullo.
Si dimostra che il MCD dei minori non cambia se esegui operazioni di questo tipo.
Quindi puoi trovare il MCD fra i minori sulla matrice diagonale ottenuta, che è molto più facile.
Puoi cercare di scrivere la matrice $\lambdaI-A$ in forma diagonale mediante operazioni elementari del tipo aggiungere ad una riga un'altra moltiplicata per un polinomio non nullo oppure aggiungere ad una colonna un'altra moltiplicata per un polinomio non nullo.
Si dimostra che il MCD dei minori non cambia se esegui operazioni di questo tipo.
Quindi puoi trovare il MCD fra i minori sulla matrice diagonale ottenuta, che è molto più facile.
ma con il metodo che mi hai appena illustrato posso anche semplicemente aggiungere una riga ad un'altra? quindi alla fine ottengo una matrice diagonale e su quella faccio il metodo che mi dicevi prima, ovvero eliminare una riga e una colonna e fare il determinante di quella, giusto? ho capito bene?
Sì, puoi aggiungere una riga ad un'altra oppure ad una riga qualsiasi un'altra moltiplicata per un polinomio (in $\lambda$) non nullo.
Oppure stessa cosa con le colonne.
Fino ad ottenere una matrice in cui ci sono polinomi (eventualmente anche costanti non nulle) su tutta la diagonale e $0$ altrove.
Alla fine non devi eleminare niente, devi trovare i minori di ordine $n-1$ di questa matrice diagonale. Tieni conto però che quelli non nulli sono solo quelli che contengono $n-1$ elementi della diagonale. Quindi ne devi trovare solo $n$.
Se ho tempo, più tardi ti faccio un esempio.
Oppure stessa cosa con le colonne.
Fino ad ottenere una matrice in cui ci sono polinomi (eventualmente anche costanti non nulle) su tutta la diagonale e $0$ altrove.
Alla fine non devi eleminare niente, devi trovare i minori di ordine $n-1$ di questa matrice diagonale. Tieni conto però che quelli non nulli sono solo quelli che contengono $n-1$ elementi della diagonale. Quindi ne devi trovare solo $n$.
Se ho tempo, più tardi ti faccio un esempio.
"cirasa":
Sì, puoi aggiungere una riga ad un'altra oppure ad una riga qualsiasi un'altra moltiplicata per un polinomio (in $\lambda$) non nullo.
Oppure stessa cosa con le colonne.
Fino ad ottenere una matrice in cui ci sono polinomi (eventualmente anche costanti non nulle) su tutta la diagonale e $0$ altrove.
Alla fine non devi eleminare niente, devi trovare i minori di ordine $n-1$ di questa matrice diagonale. Tieni conto però che quelli non nulli sono solo quelli che contengono $n-1$ elementi della diagonale. Quindi ne devi trovare solo $n$.
Se ho tempo, più tardi ti faccio un esempio.
Oh grazie! molto gentile..allora aspetto tue news.
Ok, l'avevo dimenticato: un'altra operazione elementare che non cambia il MCD fra i minori, oltre a quelle sopra menzionate, è scambiare di posto due righe o due colonne.
Veniamo all'esempio che ti avevo promesso. Per non pensare troppo uso il tuo esercizio:
$\lambdaI-A=((\lambda-1,0,0,0),(-1,\lambda-1,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(1,1,0,\lambda-1))$
Scambio prima e quarta riga. Ottengo
$((1,1,0,\lambda-1),(-1,\lambda-1,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(\lambda-1,0,0,0))$
Sommo alla seconda riga la prima e alla quarta la prima moltiplicata per $-(\lambda-1)$. Ottengo
$((1,1,0,\lambda-1),(0,\lambda,0,\lambda-1),(0,-1,\lambda-1,0),(0,-(\lambda-1),0,-(\lambda-1)^2))$
Sommo alla seconda colonna la prima moltiplicata per $-1$ e alla quarta colonna la prima moltiplicata per $-(\lambda-1)$. Ottengo
$((1,0,0,0),(0,\lambda,0,\lambda-1),(0,-1,\lambda-1,0),(0,-(\lambda-1),0,-(\lambda-1)^2))$
Scambio seconda e terza riga. Ottengo
$((1,0,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(0,\lambda,0,\lambda-1),(0,-(\lambda-1),0,-(\lambda-1)^2))$
Sommo alla terza riga la seconda moltiplicata per $\lambda$ e alla quarta la seconda moltiplicata per $-(\lambda-1)$. Ottengo
$((1,0,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(0,0,\lambda^2-\lambda,\lambda-1),(0,0,-(\lambda-1)^2,-(\lambda-1)^2))$
E così via fino ad arrivare a
$((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,\lambda-1,0),(0,0,0,(\lambda-1)^3))$
Ora puoi trovare il MCD fra i minori di ordine $3$ di quest'ultima matrice che si trova facilmente ed è $\lambda-1$.
Quindi il polinomio minimo è [tex]\displaystyle m(\lambda)=\frac{\textrm{polinomio caratteristico}}{\lambda-1}=\frac{(\lambda-1)^4}{\lambda-1}=(\lambda-1)^3[/tex].
Spero di non aver sbagliato.
Veniamo all'esempio che ti avevo promesso. Per non pensare troppo uso il tuo esercizio:
$\lambdaI-A=((\lambda-1,0,0,0),(-1,\lambda-1,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(1,1,0,\lambda-1))$
Scambio prima e quarta riga. Ottengo
$((1,1,0,\lambda-1),(-1,\lambda-1,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(\lambda-1,0,0,0))$
Sommo alla seconda riga la prima e alla quarta la prima moltiplicata per $-(\lambda-1)$. Ottengo
$((1,1,0,\lambda-1),(0,\lambda,0,\lambda-1),(0,-1,\lambda-1,0),(0,-(\lambda-1),0,-(\lambda-1)^2))$
Sommo alla seconda colonna la prima moltiplicata per $-1$ e alla quarta colonna la prima moltiplicata per $-(\lambda-1)$. Ottengo
$((1,0,0,0),(0,\lambda,0,\lambda-1),(0,-1,\lambda-1,0),(0,-(\lambda-1),0,-(\lambda-1)^2))$
Scambio seconda e terza riga. Ottengo
$((1,0,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(0,\lambda,0,\lambda-1),(0,-(\lambda-1),0,-(\lambda-1)^2))$
Sommo alla terza riga la seconda moltiplicata per $\lambda$ e alla quarta la seconda moltiplicata per $-(\lambda-1)$. Ottengo
$((1,0,0,0),(0,-1,\lambda-1,0),(0,0,\lambda^2-\lambda,\lambda-1),(0,0,-(\lambda-1)^2,-(\lambda-1)^2))$
E così via fino ad arrivare a
$((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,\lambda-1,0),(0,0,0,(\lambda-1)^3))$
Ora puoi trovare il MCD fra i minori di ordine $3$ di quest'ultima matrice che si trova facilmente ed è $\lambda-1$.
Quindi il polinomio minimo è [tex]\displaystyle m(\lambda)=\frac{\textrm{polinomio caratteristico}}{\lambda-1}=\frac{(\lambda-1)^4}{\lambda-1}=(\lambda-1)^3[/tex].
Spero di non aver sbagliato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo