Polinomio minimo di una matrice.
Ciao a tutti,
scusate se sto postando un po troppo, ma sono con l'acqua alla gola...
Mi serve aiuto su questo esercizio:
1) Calcolo il polinomio caratteristico:
$det(A- lambda I)=det((1,-1),(2,3))=(lambda+1)(lambda-5)$
allora il polinomio minimo sarà uno di questi:
$m_1(labda)=(lambda+1)$
$m_2(lambda)=(lambda-5)$
$m_(lambda)=(lambda+1)(lambda-5)$
dato che
$(A+I)!=0$
$(A-5I)!=0$
per esclusione, il polinomio minimo di $A$ dovrebbe essere $(lambda+1)(lambda-5)$, ma così non è:
$(A+I)(A-5I)=((2,-1),(2,4))((-4,-1),(2,-2))=((-10,0),(0,-10))!=0$
Dove sbaglio?
Qualcuno sarebbe in grado di tradurmi in italiano il secondo punto? Cosa significa"appartenere all'ideale dei polinomi che si annullano in $A$?
Grazie!
scusate se sto postando un po troppo, ma sono con l'acqua alla gola...
Mi serve aiuto su questo esercizio:
1) Calcolo il polinomio caratteristico:
$det(A- lambda I)=det((1,-1),(2,3))=(lambda+1)(lambda-5)$
allora il polinomio minimo sarà uno di questi:
$m_1(labda)=(lambda+1)$
$m_2(lambda)=(lambda-5)$
$m_(lambda)=(lambda+1)(lambda-5)$
dato che
$(A+I)!=0$
$(A-5I)!=0$
per esclusione, il polinomio minimo di $A$ dovrebbe essere $(lambda+1)(lambda-5)$, ma così non è:
$(A+I)(A-5I)=((2,-1),(2,4))((-4,-1),(2,-2))=((-10,0),(0,-10))!=0$
Dove sbaglio?
Qualcuno sarebbe in grado di tradurmi in italiano il secondo punto? Cosa significa"appartenere all'ideale dei polinomi che si annullano in $A$?
Grazie!
Risposte
Ciao, il polinomio minimo non è [tex](\lambda+1)(\lambda-5)[/tex], prova a rifare il conto.
Quanto al secondo punto, devi verificare se quel polinomio si annulla in A, cioè se sostituendo A al posto di X ottieni zero come risultato. La teoria ti dice che questo succede se e solo se il polinomio minimo di A divide $P(X)$, quindi devi fare la divisione con resto di $P(X)$ per il polinomio minimo $M(X)$ di A. Detti $Q(X)$ il quoziente e $R(X)$ il resto, $R(X)$ ha grado 1 e $P(X)=Q(X)M(X)+R(X)$ quindi siccome $M(A)=0$ ottieni $P(A)=R(A)$. Ti sta chiedendo se $R(X)$ è zero oppure no (il che è equivalente a chiedere se $R(A)=0$, dato che $R$ ha grado $1$).
Nel terzo punto ti sta chiedendo di calcolare $P(A)$, e per quanto ho detto $P(A)=R(A)$.
Quanto al secondo punto, devi verificare se quel polinomio si annulla in A, cioè se sostituendo A al posto di X ottieni zero come risultato. La teoria ti dice che questo succede se e solo se il polinomio minimo di A divide $P(X)$, quindi devi fare la divisione con resto di $P(X)$ per il polinomio minimo $M(X)$ di A. Detti $Q(X)$ il quoziente e $R(X)$ il resto, $R(X)$ ha grado 1 e $P(X)=Q(X)M(X)+R(X)$ quindi siccome $M(A)=0$ ottieni $P(A)=R(A)$. Ti sta chiedendo se $R(X)$ è zero oppure no (il che è equivalente a chiedere se $R(A)=0$, dato che $R$ ha grado $1$).
Nel terzo punto ti sta chiedendo di calcolare $P(A)$, e per quanto ho detto $P(A)=R(A)$.
A me non sembra di aver sbagliato a fare i conti...
$ det(A- lambda I)=det((1,-1),(2,3))=lambda^2-4lambda +5=(lambda+1)(lambda-5) $
$ m_1(lambda)=(lambda+1)=((1,-1),(2,3))+((1,0),(0,1))=((1,-1),(2,3))!=0$
$ m_2(lambda)=(lambda+1)=((1,-1),(2,3))-((5,0),(0,5))=((-4,-1),(2,-2))!=0$
$m_3(lambda)= (A+I)(A-5I)=((2,-1),(2,4))((-4,-1),(2,-2))=((-10,0),(0,-10))!=0 $
Le uniche tre possibilità sono queste o sbaglio?
$ det(A- lambda I)=det((1,-1),(2,3))=lambda^2-4lambda +5=(lambda+1)(lambda-5) $
$ m_1(lambda)=(lambda+1)=((1,-1),(2,3))+((1,0),(0,1))=((1,-1),(2,3))!=0$
$ m_2(lambda)=(lambda+1)=((1,-1),(2,3))-((5,0),(0,5))=((-4,-1),(2,-2))!=0$
$m_3(lambda)= (A+I)(A-5I)=((2,-1),(2,4))((-4,-1),(2,-2))=((-10,0),(0,-10))!=0 $
Le uniche tre possibilità sono queste o sbaglio?
"BRN":Questa uguaglianza è falsa.
$lambda^2-4lambda +5=(lambda+1)(lambda-5) $
Ah dannazione!!! Hai ragione, avevo sbagliato a fare i conti!!! 
Il polinomko caratteristico è questo: $[lambda-(2+i)][lambda-(2-i)]$ e coincide con il polinomio minimo.
Per gli altri punti sei stato molto chiaro, ora ho capito cosa chede l'esercizio.
Grazie mille!!!
Il polinomko caratteristico è questo: $[lambda-(2+i)][lambda-(2-i)]$ e coincide con il polinomio minimo.
Per gli altri punti sei stato molto chiaro, ora ho capito cosa chede l'esercizio.
Grazie mille!!!
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