Polinomio catatteristico (proiezione ortogonale)
Avrei bisogno del vostro benestare riguardo un ragionamento e anche di una dritta per questo esercizio dato che a un certo punto mi blocco
Si abbia uno spazio vettoria euclideo $V$, di dimensione $n$ e un sottospazio vettoriale $W$ di dimensione $k$ con $0
Scriverne il polinomio caratteristico.
L'unico suggerimento nelle soluzioni che sono andato a gaurdare perché non risucivo ad andare molto oltre è "si pensi al complemento ortogonale" e poi la soluzione riportata è: $(\lambda-1)^(dimW)(\lambda)^(n-dimW)(-1)^n$
Ho ragionato così dopo il suggerimento:
$W⊕W^⟂=V$ inoltre mi accorgo che posso scrivere ogni vettore x di V come somma di vettori: x' appartenente a W e x'' appartenente a W ortogonale. Avendo una base con questi vettori x' e x'' se riuscissi a mostrare che sono autovettori di un certo autovalore avrei un ulteriore legame tra la molteplicità geometrica ed algebrica e con la diagonalizzabilità.
Noto poi anche che se $x\inW^⟂$ allora $x=x''+0=x+0$ quindi essendo p(x)=0 W è autospazio relativo all'autovalore 1
Identicamente per il complemento ortogonale noto che W ortogonale è autospazio dell'autovalore 0 in quanto $Kerp=W^⟂$
Da questo mi aspetto che il polinomio caratteristico dato che è identico a qualunque base io associ una matrice per l'applicazione, se io prendo una matrice associata alla mia applicazione proiezione con base costituita dai miei autovettori sarà una matrice che avràsulla diagonale proprio i lambda e il polinomio caratteristico sarà dato da qualcosa del tipo $(\lambda-1)$ con molteplicità algebrica ad esponente che coincidendo con quella geometrica sarà pari alla dimensione del mio autospazio W, $\lambda$ avrà dimensione n-dimensione di W.
Però la soluzione è: $(\lambda-1)^(dimW)(\lambda)^(n-dimW)(-1)^n$
Non capisco il -1 da cosa arrivi, perché la formula generica del polinomio caratteristico dovrebbe avere una traccia di mezzo
Grazie dell'aiuto
Si abbia uno spazio vettoria euclideo $V$, di dimensione $n$ e un sottospazio vettoriale $W$ di dimensione $k$ con $0
Scriverne il polinomio caratteristico.
L'unico suggerimento nelle soluzioni che sono andato a gaurdare perché non risucivo ad andare molto oltre è "si pensi al complemento ortogonale" e poi la soluzione riportata è: $(\lambda-1)^(dimW)(\lambda)^(n-dimW)(-1)^n$
Ho ragionato così dopo il suggerimento:
$W⊕W^⟂=V$ inoltre mi accorgo che posso scrivere ogni vettore x di V come somma di vettori: x' appartenente a W e x'' appartenente a W ortogonale. Avendo una base con questi vettori x' e x'' se riuscissi a mostrare che sono autovettori di un certo autovalore avrei un ulteriore legame tra la molteplicità geometrica ed algebrica e con la diagonalizzabilità.
Noto poi anche che se $x\inW^⟂$ allora $x=x''+0=x+0$ quindi essendo p(x)=0 W è autospazio relativo all'autovalore 1
Identicamente per il complemento ortogonale noto che W ortogonale è autospazio dell'autovalore 0 in quanto $Kerp=W^⟂$
Da questo mi aspetto che il polinomio caratteristico dato che è identico a qualunque base io associ una matrice per l'applicazione, se io prendo una matrice associata alla mia applicazione proiezione con base costituita dai miei autovettori sarà una matrice che avràsulla diagonale proprio i lambda e il polinomio caratteristico sarà dato da qualcosa del tipo $(\lambda-1)$ con molteplicità algebrica ad esponente che coincidendo con quella geometrica sarà pari alla dimensione del mio autospazio W, $\lambda$ avrà dimensione n-dimensione di W.
Però la soluzione è: $(\lambda-1)^(dimW)(\lambda)^(n-dimW)(-1)^n$
Non capisco il -1 da cosa arrivi, perché la formula generica del polinomio caratteristico dovrebbe avere una traccia di mezzo
Grazie dell'aiuto
Risposte
Premesso che un operatore di proiezione ortogonale, definito su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, su un sottospazio vettoriale $W$ di dimensione $k$, può essere tranquillamente definito come un operatore avente l'autovalore $\lambda=1$ di molteplicità algebrica uguale a quella geometrica uguale a $k$, e l'autovalore $\lambda=0$ di molteplicità algebrica uguale a quella geometrica uguale a $n-k$, il polinomio caratteristico deve essere del tipo $\lambda^(n-k)(\lambda-1)^k$. La presenza del fattore $(-1)^n$ dipende da come è stato definito.
Innanzitutto grazie
Ma c'è un motivo per quanto affermi, nel senso: io l'ho dedotto con quel ragionamento ma nella teoria non l'ho trovato. E' dimostrato insomma? Mi piacerebbe approfondire questo aspetto (se hai link o altro
)
Non ho ben capito mi sa. In questo caso come faccio a capire in che modo è definito nell'esercizio proposto?
Non sono ancora molto pratico essendo una parte nuova di studio, scusa le domande sciocche.
"anonymous_0b37e9":
Premesso che un operatore di proiezione ortogonale, definito su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$, su un sottospazio vettoriale $W$ di dimensione $k$, può essere tranquillamente definito come un operatore avente l'autovalore $\lambda=1$ di molteplicità algebrica uguale a quella geometrica uguale a $k$, e l'autovalore $\lambda=0$ di molteplicità algebrica uguale a quella geometrica uguale a $n-k$
Ma c'è un motivo per quanto affermi, nel senso: io l'ho dedotto con quel ragionamento ma nella teoria non l'ho trovato. E' dimostrato insomma? Mi piacerebbe approfondire questo aspetto (se hai link o altro
)"anonymous_0b37e9":
La presenza del fattore $(-1)^n$ dipende da come è stato definito.
Non ho ben capito mi sa. In questo caso come faccio a capire in che modo è definito nell'esercizio proposto?
Non sono ancora molto pratico essendo una parte nuova di studio, scusa le domande sciocche.
Volevo semplicemente dire che $W$ è l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=1$ e che $W^_|_$ è l'autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$. In questo modo, applicando a un generico vettore $vecv$ l'operatore di proiezione ortogonale $P$, sopravvive solo la sua proiezione $vecw$ su $W$:
$[vecv in V] ^^ [vecw in W] ^^ [vecu in W^_|_] ^^ [vecv=vecw+vecu] rarr$
$rarr [P(vecv)=P(vecw+vecu)=P(vecw)+P(vecu)=1*vecw+0*vecu=vecw]$
In altre parole, non è un problema definire un operatore di proiezione ortogonale $P$ come un operatore avente $W$ come autospazio associato all'autovalore $\lambda=1$ e $W^_|_$ come autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$. In questo caso, il polinomio caratteristico assumerebbe il seguente aspetto:
$[dimW=k] ^^ [dimW^_|_=n-k] rarr \lambda^ (n-k)(\lambda-1)^k$
praticamente per definizione. Inoltre, se si definisce il polinomio caratteristico come $det(P-\lambdaI)$, il fattore $(-1)^n$ è necessario, se si definisce come $det(\lambdaI-P)$, non lo è. Tipicamente, dovrebbe essere definito come $det(P-\lambdaI)$.
$[vecv in V] ^^ [vecw in W] ^^ [vecu in W^_|_] ^^ [vecv=vecw+vecu] rarr$
$rarr [P(vecv)=P(vecw+vecu)=P(vecw)+P(vecu)=1*vecw+0*vecu=vecw]$
In altre parole, non è un problema definire un operatore di proiezione ortogonale $P$ come un operatore avente $W$ come autospazio associato all'autovalore $\lambda=1$ e $W^_|_$ come autospazio associato all'autovalore $\lambda=0$. In questo caso, il polinomio caratteristico assumerebbe il seguente aspetto:
$[dimW=k] ^^ [dimW^_|_=n-k] rarr \lambda^ (n-k)(\lambda-1)^k$
praticamente per definizione. Inoltre, se si definisce il polinomio caratteristico come $det(P-\lambdaI)$, il fattore $(-1)^n$ è necessario, se si definisce come $det(\lambdaI-P)$, non lo è. Tipicamente, dovrebbe essere definito come $det(P-\lambdaI)$.
Grazie mille per risposta e chiarezza.
Sì allora mi pare il ragionamento che avevo fatto io, anche se il mio è molto naif
Grazie per la spiegazione:)
Sì allora mi pare il ragionamento che avevo fatto io, anche se il mio è molto naif
Grazie per la spiegazione:)
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