Polinomio caratteristico tuttofare
Salve ragazzi, tra un po avrò l'esame di geometria e ancora ho delle lacune dopo aver passato l'estate a studiare!
Per intenderci vorrei riuscire a capire se posso costruirmi delle matrici con delle caratteristiche dal polinomio caratteristico!
Ora per farla breve vi farò qualche esempio con matrici 2x2!
Voglio costruire una matrice che abbia determinante pari a 3 e non è diagonalizzabile! Ho pensato che se non ha autovalori reali non è diagonalizzabile e quindi dal polinomio caratteristico ($\lambda^2 - (tr)\lambda + det(A) = 0$) pongo traccia nulla e det 3 potrei trovarmi una matrice con polinomio $\lambda^2 + 3 = 0$ e una possibile soluzione potebbe essere la matrice $((1, -2), (2, -1))$
Oppure voglio costruire una matrice sempre 2x2 che però abbia traccia 1 e soddisfi $A*A^t = I$
Tutta questa famiglia di esercizi è possibile risolverli utilizzando il polinomio caratteristico? Ci sto sbattendo la testa da un po ma non ne vengo a capo! Nell'esercizio della matrice non diagonalizzabile ad esempio ho capito come doveva essere l'equazione, ma la matrice creata, seppur descritta dal polinomio non è stata ricavata da esso ma un po ad occhio!
Se qualcuno sa come aiutarmi glie ne sarei molto grato!
Per intenderci vorrei riuscire a capire se posso costruirmi delle matrici con delle caratteristiche dal polinomio caratteristico!
Ora per farla breve vi farò qualche esempio con matrici 2x2!
Voglio costruire una matrice che abbia determinante pari a 3 e non è diagonalizzabile! Ho pensato che se non ha autovalori reali non è diagonalizzabile e quindi dal polinomio caratteristico ($\lambda^2 - (tr)\lambda + det(A) = 0$) pongo traccia nulla e det 3 potrei trovarmi una matrice con polinomio $\lambda^2 + 3 = 0$ e una possibile soluzione potebbe essere la matrice $((1, -2), (2, -1))$
Oppure voglio costruire una matrice sempre 2x2 che però abbia traccia 1 e soddisfi $A*A^t = I$
Tutta questa famiglia di esercizi è possibile risolverli utilizzando il polinomio caratteristico? Ci sto sbattendo la testa da un po ma non ne vengo a capo! Nell'esercizio della matrice non diagonalizzabile ad esempio ho capito come doveva essere l'equazione, ma la matrice creata, seppur descritta dal polinomio non è stata ricavata da esso ma un po ad occhio!
Se qualcuno sa come aiutarmi glie ne sarei molto grato!
Risposte
Nel primo caso, la matrice vuoi che non sia diagonalizzabile in $RR$ o in generale?
Nel secondo caso, forse il polinomio caratteristico non basta. Io userei la forma di Shur, perchè le matrici di similitudine sono unitarie e quindi nell'uguaglianza con la matrice identica le puoi "semplificare" e perchè la forma canonica in sè é triangolare. Fatti la domanda: Che condizioni dare ad una matrice A in modo che valga $A*A^t=I$ sapendo che A è triangolare superiore?
Nel secondo caso, forse il polinomio caratteristico non basta. Io userei la forma di Shur, perchè le matrici di similitudine sono unitarie e quindi nell'uguaglianza con la matrice identica le puoi "semplificare" e perchè la forma canonica in sè é triangolare. Fatti la domanda: Che condizioni dare ad una matrice A in modo che valga $A*A^t=I$ sapendo che A è triangolare superiore?
Basta che la matrice non sia diagonalizzabile in $RR$
Per quanto riguarda la seconda non ricordo di aver fatto la forma di Shur! Di cosa si tratta?
Avevo pensato di crearmi una base ortonormale da una base qualsiasi la quale comunque moltiplicata per una sua trasposta dava la matrice identità
Per quanto riguarda la seconda non ricordo di aver fatto la forma di Shur! Di cosa si tratta?
Avevo pensato di crearmi una base ortonormale da una base qualsiasi la quale comunque moltiplicata per una sua trasposta dava la matrice identità
Ok, ma se lavori in dimensione 2 tanto vale che lo fai a mano. Se vuoi andare su di dimensione costruire una base ortonormale potrebbe non essere molto veloce.
Be si due, tre max quattro dimensioni va bene anche con una ortonormale (anche se 4 è già una faticaccia)!
E nel primo caso come posso muovermi sfruttando il polinomio caratteristico?
E nel primo caso come posso muovermi sfruttando il polinomio caratteristico?
Non mi ricordo alcun risultato che leghi il polinomio caratteristico di A con A e A^t contemporaneamente. Quindi così non ti saprei dire.
L'idea che ti dicevo è quella di triangolare la matrice A e ridurre il problema ad una A triangolare superiore.
Poi se ti interessa solo costruire un esempio, lascia perdere la teoria e fallo con le mani. Se vuoi generalizzare o devi ricavarci altre informazioni allora prova a seugire questa strada.
L'idea che ti dicevo è quella di triangolare la matrice A e ridurre il problema ad una A triangolare superiore.
Poi se ti interessa solo costruire un esempio, lascia perdere la teoria e fallo con le mani. Se vuoi generalizzare o devi ricavarci altre informazioni allora prova a seugire questa strada.
$A$ e $A^T$ hanno lo stesso polinomio caratteristico, no? infatti $P_A(x)=det(A-xI)=det[(A-xI)^T]=det(A^T-xI^T)=det(A^T-xI)=P_{(A^T)}(x)$. Vi può servire questo fatto?
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