Polinomio caratteristico difficile di una matrice quadrata
Buongiorno a tutti!!
vi è mai capitato di non riuscire a trovare le radici del polinomio caratteristico di una matrice quadrata? Non mi era mai capitato, ma durante la prova mi sono bloccata proprio su questo!
Data la matrice
A=$((2,-1,-1),(-1,-1,0),(-1,0,0))$
mi calcolo il polinomio caratteristico $|A - \lambda I|=0$, dove $I=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
facendo i calcoli, il polinomio caratteristico è
$\lambda^3-\lambda^2-4\lambda-1=0$
per sapere qual'è la mia quadrica (l'esercizio di partenza riguarda le quadriche), ho bisogno di sapere i segni degli autovalori, ma non sono riuscita a calcolarli! per risolvere il polinomio ho provato tutto quello che ho studiato:
- non ho fattori comuni, non posso fare il raccoglimento a fattor comune
-non posso fare il raccoglimento a fattor comune parziale, perchè c'è il 4
-non è un prodotto notevole
-non si può applicare la regola di Ruffini (gli unici zeri del polinomio possibili sono +1 o -1, perchè il termine noto e il coefficiente di $\lambda^3$ sono 1, e sostituendo 1 o -1 non ottengo 0)
quindi non sono riuscita ad andare avanti! qualcuno sa come si può risolvere questo polinomio? o secondo voi c'è qualche errore?
Vi ringrazio molto!
vi è mai capitato di non riuscire a trovare le radici del polinomio caratteristico di una matrice quadrata? Non mi era mai capitato, ma durante la prova mi sono bloccata proprio su questo!
Data la matrice
A=$((2,-1,-1),(-1,-1,0),(-1,0,0))$
mi calcolo il polinomio caratteristico $|A - \lambda I|=0$, dove $I=((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$
facendo i calcoli, il polinomio caratteristico è
$\lambda^3-\lambda^2-4\lambda-1=0$
per sapere qual'è la mia quadrica (l'esercizio di partenza riguarda le quadriche), ho bisogno di sapere i segni degli autovalori, ma non sono riuscita a calcolarli! per risolvere il polinomio ho provato tutto quello che ho studiato:
- non ho fattori comuni, non posso fare il raccoglimento a fattor comune
-non posso fare il raccoglimento a fattor comune parziale, perchè c'è il 4
-non è un prodotto notevole
-non si può applicare la regola di Ruffini (gli unici zeri del polinomio possibili sono +1 o -1, perchè il termine noto e il coefficiente di $\lambda^3$ sono 1, e sostituendo 1 o -1 non ottengo 0)
quindi non sono riuscita ad andare avanti! qualcuno sa come si può risolvere questo polinomio? o secondo voi c'è qualche errore?
Vi ringrazio molto!
Risposte
Ciao. Visto che ti bastano i segni degli autovalori, puoi accontentarti di una soluzione per via grafica dell'equazione.
Per esempio, dopo averla riscritta nella forma:__$lambda^2-lambda-4=1/lambda$__, tracci in un piano $O lambda y$ i grafici di__$y=lambda^2-lambda-4$__e di__$y=1/lambda$__, constati che si intersecano due volte a sinistra dell'origine e una volta a destra (almeno mi pare, ho fatto i conti un po' in fretta), da cui i segni delle radici del polinomio.
Per esempio, dopo averla riscritta nella forma:__$lambda^2-lambda-4=1/lambda$__, tracci in un piano $O lambda y$ i grafici di__$y=lambda^2-lambda-4$__e di__$y=1/lambda$__, constati che si intersecano due volte a sinistra dell'origine e una volta a destra (almeno mi pare, ho fatto i conti un po' in fretta), da cui i segni delle radici del polinomio.
Il polinomio caratteristico è $p(lambda)= -lambda^3 +lambda^2+4lambda+1$
Puoi notare che $p(-2)= 5>0$, $p(-1)= -3<0$, $p(0)= 1>0$, $p(3)= -5<0$
Questo vuol dire che ci sono tre autovalori reali distinti $lambda_1< lambda_2
con $-2
Puoi notare che $p(-2)= 5>0$, $p(-1)= -3<0$, $p(0)= 1>0$, $p(3)= -5<0$
Questo vuol dire che ci sono tre autovalori reali distinti $lambda_1< lambda_2
"Palliit":
Ciao. Visto che ti bastano i segni degli autovalori, puoi accontentarti di una soluzione per via grafica dell'equazione.
Per esempio, dopo averla riscritta nella forma:__$lambda^2-lambda-4=1/lambda$__, tracci in un piano $O lambda y$ i grafici di__$y=lambda^2-lambda-4$__e di__$y=1/lambda$__, constati che si intersecano due volte a sinistra dell'origine e una volta a destra (almeno mi pare, ho fatto i conti un po' in fretta), da cui i segni delle radici del polinomio.
Palliit grazie per la risposta! anche se non ho studiato questo metodo, mi sembra molto utile in casi d'emergenza come questo! ho provato a disegnare il grafico, e ho individuato i punti che mi hai suggerito: uno nel primo quadrante (di coordinate entrambe positive quindi) e due nel terzo quadrante (di coordinate emtrambe negative). Vorrei chiederti ora come si fa a sapere i segni degli autovalori? se le coordinate dei punti sono concordi, la soluzione è positiva? se sono discordi invece è negativa?
Le soluzioni dell'equazione in $lambda$ sono le ascisse dei punti di intersezione, quelle dei punti nel terzo quadrante ($lambda_1$ e $lambda_2$) sono negative e quella del punto nel primo ($lambda_3$) è positiva.
"Gi8":
Il polinomio caratteristico è $p(lambda)= -lambda^3 +lambda^2+4lambda+1$
Puoi notare che $p(-2)= 5>0$, $p(-1)= -3<0$, $p(0)= 1>0$, $p(3)= -5<0$
Questo vuol dire che ci sono tre autovalori reali distinti $lambda_1< lambda_2con $-2
grazie per la risposta!
Studiando quindi le variazioni di segno del polinomio, si può vedere in quali intervalli variano le radici, giusto? E' importante sostituire i valori giusti nel polinomio, per farlo basta notare che se sostituisco valori negativi "grandi" in valore assoluto, il polinomio assume valori positivi, fino a -3, lo vedo quindi sostituendo -3 (ho un valore positivo), poi sostituendo -2 (il segno cambia); analogamente, se sostituisco valori positivi grandi in valore assoluto, ottengo sempre un numero negativo, per $\lambda>=3$. Poi sostituendo i valori interi $-2<\lambda<3$, ottengo tutte le variazioni di segno cercate. Spero sia corretto il ragionamento, molto intuitivo, che farei adesso se mi trovassi davanti al polinomio! grazie al tuo suggerimento ovviamente![]()
"Palliit":
Le soluzioni dell'equazione in $lambda$ sono le ascisse dei punti di intersezione, quelle dei punti nel terzo quadrante ($lambda_1$ e $lambda_2$) sono negative e quella del punto nel primo ($lambda_3$) è positiva.
Grazie mille!! ora me lo scrivo! scusa la mia ignoranza sull'argomento, ma purtroppo nessuno prima mi ha spiegato questo metodo risolutivo! grazie per la tua spiegazione!

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