Polinomio caratteristico completamente riducibile
Ciao a tutti 
Non riesco a trovare un modo semplice per dimostrare le seguenti affermazioni:
(i) Se il polinomio caratteristico $p(x)$ è completamente riducibile, allora $trA$ è uguale alla somma degli autovalori di $A$, ciascuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica
(ii) Se il polinomio caratteristico $p(x)$ è completamente riducibile, allora $detA$ è uguale al prodotto degli autovalori di $A$, ciascuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica
Per quanto riguarda la (ii) avevo pensato: se $p(x)$ è completamente riducibile, significa che posso ricondurmi tramite operazioni elementari sulla matrice A ad una matrice triangolare, ove sulla diagonale ci sono proprio gli autovalori, da cui segue la tesi.
Per quanto riguarda la (i) ho provato a fare lo stesso ragionamento, ma questo vorrebbe dire che $trA$ rimane invariata anche dopo aver compiuto delle trasformazioni elementari sulla matrice, ma questo non dovrebbe esser vero.
Grazie mille
Non riesco a trovare un modo semplice per dimostrare le seguenti affermazioni:
(i) Se il polinomio caratteristico $p(x)$ è completamente riducibile, allora $trA$ è uguale alla somma degli autovalori di $A$, ciascuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica
(ii) Se il polinomio caratteristico $p(x)$ è completamente riducibile, allora $detA$ è uguale al prodotto degli autovalori di $A$, ciascuno contato un numero di volte pari alla sua molteplicità algebrica
Per quanto riguarda la (ii) avevo pensato: se $p(x)$ è completamente riducibile, significa che posso ricondurmi tramite operazioni elementari sulla matrice A ad una matrice triangolare, ove sulla diagonale ci sono proprio gli autovalori, da cui segue la tesi.
Per quanto riguarda la (i) ho provato a fare lo stesso ragionamento, ma questo vorrebbe dire che $trA$ rimane invariata anche dopo aver compiuto delle trasformazioni elementari sulla matrice, ma questo non dovrebbe esser vero.
Grazie mille
Risposte
Qui viene descritta l'invarianza rispetto la similitudine.. Può centrare?
"GiammarcoP":
Qui viene descritta l'invarianza rispetto la similitudine.. Può centrare?
Direi di si, visto che le matrici simili hanno stesso determinante, stessi autovalori, stessa traccia e stesso rango.
Chiaramente questo spunto costituisce un possibile collegamento alla soluzione del problema che hai posto.
Saluti.
La motivazione può quindi essere:
Considero la matrice $A$ associata ad un endomorfismo $L$. Sappiamo questa essere simile ad una matrice diagonale nella forma $diag(a1,a2,...,an)$, con $a1,a2,...,an$ autovalori di $A$. Essendo sia la traccia che il determinante proprietà invarianti per similitudine, le tesi sono dimostrate.
E' corretto?
Considero la matrice $A$ associata ad un endomorfismo $L$. Sappiamo questa essere simile ad una matrice diagonale nella forma $diag(a1,a2,...,an)$, con $a1,a2,...,an$ autovalori di $A$. Essendo sia la traccia che il determinante proprietà invarianti per similitudine, le tesi sono dimostrate.
E' corretto?
Certo, purchè la matrice $A$ sia diagonalizzabile.
Saluti.
Saluti.
Grazie mille alessandro8!
Ciao!
Ciao!
Di nulla.
Tieni, però, conto che io non sono più in forma come venticinque anni fa, spero di non aver commesso sviste.
Saluti.
Tieni, però, conto che io non sono più in forma come venticinque anni fa, spero di non aver commesso sviste.
Saluti.
"alessandro8":
Certo, purchè la matrice $A$ sia diagonalizzabile.
Un'ultima cosa: gli enunciati però dovrebbero avere validità anche nel caso in cui A non sia diagonalizzabile, quindi la dimostrazione non coprirebbe tutte le eventualità. Viene infatti data come ipotesi la sola completa riducibilità del polinomio caratteristico (non necessariamente le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori sono le stesse). Le considerazioni effettuate non sono quindi limitanti? Non dovrei procedere in altro modo? Grazie
Per quello che ricordo io, in quei casi si doveva considerare la forma canonica di Jordan (quella della matrice "a blocchi").
Saluti.
Saluti.
Senza questa non risulta dimostrabile? (Non abbiamo fatto nel corso la forma canonica di Jordan)
Devo ammettere che non so rispondere con certezza, mi spiace davvero.
Comunque, anche se non hai mai visto la forma canonica di Jordan, un'occhiatina potrebbe essere sempre utile, corso o non corso; questo, almeno, è ciò che penso io.
Saluti.
Comunque, anche se non hai mai visto la forma canonica di Jordan, un'occhiatina potrebbe essere sempre utile, corso o non corso; questo, almeno, è ciò che penso io.
Saluti.
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