POLINOMIO CARATTERISTICO

[tipu91]

perche quando vado a "cercare" il polinomio caratteristico di una matrice almeno 3*3 non mi torna mai come dovrebbe tornere??? faccio un esempio: data la matrice A=$((1,2,0,1),(2,1,0,1),(0,0,2,1),(0,0,0,3))$
dovrei calcolarne il polinomio caratteristico.... a me torna $(3-x)(1-x)^2(2-x)-4(2-x)$
invece dovrebbe tornare $(3-x)^2(2-x)(-1-x)$

per calcolare il polinomio caratteristico ho usato la formula $p_a(x)=det(A-xI_n)$

non riesco a capire dove sbaglio!!!!!

[ciampax]

Mi auguro che tu abbia usato la regola di Laplace (applicata all'ultima riga). Probabilmente sbagli i calcoli perché dovresti trovare proprio il prodotto che ti viene detto. Infatti

[tex]$\det\left(\begin{array}{cccc}
1-x & \ 2 & \ 0 & \ 1\\
2 & \ 1-x & \ 0 & \ 1\\
0 & \ 0 & \ 2-x & \ 1\\
0 & \ 0 & \ 0 & \ 3-x
\end{array}\right)=-(3-x)\cdot\det\left(\begin{array}{ccc}
1-x & \ 2 & \ 0 \\
2 & \ 1-x & \ 0 \\
0 & \ 0 & \ 2-x
\end{array}\right)=-(3-x)(2-x)\cdot \det\left(\begin{array}{cc}
1-x & \ 2 \\
2 & \ 1-x \\
\end{array}\right)=$[/tex]
[tex]$=-(3-x)(2-x)[(1-x)^2-4]=-(3-x)(2-x)(1-x-2)(1-x+2)=(3-x)^2(2-x)(1+x)$[/tex]

[tipu91]

si avevo usato lo sviluppo li lapalace per il determinante 4*4, mentre usavo sarrus per la matrice 3*3, ma molto probabilmente con il metodo di sarrus mi veniva un polinomio dove non era particolarmente evidente la differenza di quadrati $[(1-x)^2-4]$ e quindi mi perdevo...
grazie mille..
dato che ci sono volevo chiarirmi un altro concetto sempre legato alla stessa matrice... per calcolare la forma canonica di jordan dovrei trovare anche la dimensione del $Ker(A-2I_n)$, giusto??? come faccio??? a me torna il vettore $((0),(0),(0),(0))$ non credo sia corretto, vero??

[tipu91]

ok, mi sono accorto da solo dove ho sbagliato: dovevo calcolare il $Ker (A-3I_n)$...
ora mi torna: $Ker (A-3I_n)=((1/2),(0),(1),(1)),((1),(1),(0),(0))$

quindi $dim Ker(A-I_n)=2$... ci dovrei essere...