Polinomio caratteristico
Buongiorno!
Sono alle prese con degli esercizi per la classificazione delle coniche e, per definire alcune coniche devo definire il polinomio caratteristico.
es 1)
Matrice di riferimento: $ | ( 3 , -1 , -2 ),( -1 , 3 , -2 ),( -2 , -2 , 2 ) | $
il polinomio caratteristico, se ho capito bene, si dovrebbe calcolare così:
$ | ( 3-x , -1 , -2 ),( -1 , 3-x , -2 ),( -2 , -2 , 2-x ) | $
ovvero: $(3-x)(3-x)(2-x)$
Dai miei calcoli viene fuori la seguente equazione: $-x^3 + 8x^2 -21x +18 $
mentre dai calcoli del prof viene la seguente equazione: $-x^3 + 8x^2 -12x -16 $
es 2)
Matrice di riferimento: $ | ( 3 , 1 , -3 ),( 1 , 3 , -1 ),( -3 , -1 , 5 ) | $
polinomio caratteristico:
$ | ( 3-x , 1 , -3 ),( 1 , 3-x , -1 ),( -3 , -1 , 5-x ) | $
ovvero: $(3-x)(3-x)(5-x)$
Dai miei calcoli viene fuori la seguente equazione: $ -x^3 +11x -39x +45 $
mentre dai calcoli del prof viene la seguente equazione: $-x^3 +11x^2 -28x +16$
In entrambi i casi i primi due elementi del polinomio caratteristico tornano uguali, mentre cambiano gli ultimi 2. Vorrei sapere dove sbaglio a calcolare il polinomio.
Grazie.
Sono alle prese con degli esercizi per la classificazione delle coniche e, per definire alcune coniche devo definire il polinomio caratteristico.
es 1)
Matrice di riferimento: $ | ( 3 , -1 , -2 ),( -1 , 3 , -2 ),( -2 , -2 , 2 ) | $
il polinomio caratteristico, se ho capito bene, si dovrebbe calcolare così:
$ | ( 3-x , -1 , -2 ),( -1 , 3-x , -2 ),( -2 , -2 , 2-x ) | $
ovvero: $(3-x)(3-x)(2-x)$
Dai miei calcoli viene fuori la seguente equazione: $-x^3 + 8x^2 -21x +18 $
mentre dai calcoli del prof viene la seguente equazione: $-x^3 + 8x^2 -12x -16 $
es 2)
Matrice di riferimento: $ | ( 3 , 1 , -3 ),( 1 , 3 , -1 ),( -3 , -1 , 5 ) | $
polinomio caratteristico:
$ | ( 3-x , 1 , -3 ),( 1 , 3-x , -1 ),( -3 , -1 , 5-x ) | $
ovvero: $(3-x)(3-x)(5-x)$
Dai miei calcoli viene fuori la seguente equazione: $ -x^3 +11x -39x +45 $
mentre dai calcoli del prof viene la seguente equazione: $-x^3 +11x^2 -28x +16$
In entrambi i casi i primi due elementi del polinomio caratteristico tornano uguali, mentre cambiano gli ultimi 2. Vorrei sapere dove sbaglio a calcolare il polinomio.
Grazie.
Risposte
Dubbio che mi sorge a partire dalla notazione che usi: tu hai svolto il determinante della matrice a cui hai sottratto $x$ alla diagonale?
Perché se non l'hai fatto l'errore è lì (sembra che tu abbia solo moltiplicato gli elementi della diagonale). Altrimenti sarà solo un qualche errore di calcolo
Perché se non l'hai fatto l'errore è lì (sembra che tu abbia solo moltiplicato gli elementi della diagonale). Altrimenti sarà solo un qualche errore di calcolo
"uldi":
Dubbio che mi sorge a partire dalla notazione che usi: tu hai svolto il determinante della matrice a cui hai sottratto $x$ alla diagonale?
Perché se non l'hai fatto l'errore è lì (sembra che tu abbia solo moltiplicato gli elementi della diagonale). Altrimenti sarà solo un qualche errore di calcolo
Sì. Nel primo esercizio il determinante viene -16. Nel secondo esercizio il determinante viene 16.
Che vuol dire che ho "solo moltiplicato gli elementi della diagonale"?
Nel senso che nel primo esercizio il polinomi caratteristico è il determinante di questa matrice: $ (( 3-x , -1 , -2 ),( -1 , 3-x , -2 ),( -2 , -2 , 2-x ) ) $ , con le x e tutto.
Inoltre già il fatto che il determinate della matrice di partenza (senza le x) sia -16 ti fa capire che hai sbagliato a calcolare il polinomio caratteristico: il termine di grado 0 del polinomio caratteristico è, infatti, il determinante della matrice di partenza.
Inoltre già il fatto che il determinate della matrice di partenza (senza le x) sia -16 ti fa capire che hai sbagliato a calcolare il polinomio caratteristico: il termine di grado 0 del polinomio caratteristico è, infatti, il determinante della matrice di partenza.
E' corretto come scrive uldi. Per trovare gli autovalori devi porre uguale a zero il determinante della matrice dove hai sottratto agli elementi sulla diagonale \(\lambda\). Quindi:
\[(3-\lambda)[(3-\lambda)(2-\lambda)-4]+[(\lambda-2)-4]-2[2+2(3-\lambda]=0\]
che diventa
\[-\lambda^{3}+8\lambda^{2}-12\lambda-16=0\]
\[(3-\lambda)[(3-\lambda)(2-\lambda)-4]+[(\lambda-2)-4]-2[2+2(3-\lambda]=0\]
che diventa
\[-\lambda^{3}+8\lambda^{2}-12\lambda-16=0\]
Dai miei calcoli viene fuori la seguente equazione: $-x^3 + 8x^2 -21x +18 $
Dai miei calcoli viene fuori la seguente equazione: $ -x^3 +11x -39x +45 $
Sbagli in entrambi i casi perchè non si calcola in quel modo il determinante di quelle matrici, ti limiti a moltiplicare solamente gli elementi della diaginale principale. Applica la regola di Sarrus.
"weblan":
Sbagli in entrambi i casi perchè non si calcola in quel modo il determinante di quelle matrici, ti limiti a moltiplicare solamente gli elementi della diaginale principale. Applica la regola di Sarrus.
Che bischero! Scusate, l'errore era proprio banale!!!
grazie anche a maxsiviero e uldi per le risposte.
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