Polinomio caratteristico
esempio
Matrice A
1 6 1
0 2 9
0 0 3
il polinomio caratteristico è (5-lamda)(2-lamda)(3-lamda)
matrice B
1 3 4
2 1 9
0 2 1
Come devo procedere per calcolare il polinomio caratteristico e successivamente gli autovalori?
1)Posso ridurlo a scala e poi procedere come sopra?
2)C'è un metodo alternativo?
Matrice A
1 6 1
0 2 9
0 0 3
il polinomio caratteristico è (5-lamda)(2-lamda)(3-lamda)
matrice B
1 3 4
2 1 9
0 2 1
Come devo procedere per calcolare il polinomio caratteristico e successivamente gli autovalori?
1)Posso ridurlo a scala e poi procedere come sopra?
2)C'è un metodo alternativo?
Risposte
Ciao
potresti anche ridurre la matrice in scala, ma se vuoi c'è un metodo generale per trovare il polinomio caratteristico di una matrice
Per prima cosa prendi una matrice identità che abbia la stessa dimensione della tua matrice di partenza, quindi, nel tuo caso una 3x3
ovvero
[tex]I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
a questo punto determini il polinomio caratteristico facendo
[tex]P(x)=det (A-xI)[/tex]
dove $A$ è la tua matrice
quindi nel tuo caso hai
[tex]P(x)=det \left( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} -x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = det \left( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} \right) = det \begin{pmatrix} 1-x & 3 & 4 \\ 2 & 1-x & 9 \\ 0 & 2 & 1-x \end{pmatrix}[/tex]
calcoli il determinante (lasciando $x$ indicato ovviamente) e ti esce il polinomio caratteristico. Gli autovalori non sono altro che i valori di $x$ tali per cui il polinomio diventa zero
spero di averti chiarito le idee
se ti servo ancora aiuto chiedi pure
ciao
potresti anche ridurre la matrice in scala, ma se vuoi c'è un metodo generale per trovare il polinomio caratteristico di una matrice
Per prima cosa prendi una matrice identità che abbia la stessa dimensione della tua matrice di partenza, quindi, nel tuo caso una 3x3
ovvero
[tex]I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
a questo punto determini il polinomio caratteristico facendo
[tex]P(x)=det (A-xI)[/tex]
dove $A$ è la tua matrice
quindi nel tuo caso hai
[tex]P(x)=det \left( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} -x \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right) = det \left( \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 9 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & x \end{pmatrix} \right) = det \begin{pmatrix} 1-x & 3 & 4 \\ 2 & 1-x & 9 \\ 0 & 2 & 1-x \end{pmatrix}[/tex]
calcoli il determinante (lasciando $x$ indicato ovviamente) e ti esce il polinomio caratteristico. Gli autovalori non sono altro che i valori di $x$ tali per cui il polinomio diventa zero
spero di averti chiarito le idee
se ti servo ancora aiuto chiedi pure
ciao
"Summerwind78":
potresti anche ridurre la matrice in scala, ma se vuoi c'è un metodo generale per trovare il polinomio caratteristico di una matrice
No, non conviene ridurre la matrice (se ne è discusso qualche volta qui in Geometria e Algebra lineare, prova a cercare nel forum).
In generale le mosse di Gauss alterano il polinomio caratteristico e gli autovalori, quindi è bene non ridurre la matrice davanti a richieste quali "calcola gli autovalori, autovettori etc".
Uhm.... mi sa che hai ragione!!!
chiedo venia per la castroneria che ho scritto
@ gnappo90: La spiegazione su come calcolare il polinomio caratteristico resta valida
chiedo venia per la castroneria che ho scritto
@ gnappo90: La spiegazione su come calcolare il polinomio caratteristico resta valida
"Summerwind78":
Uhm.... mi sa che hai ragione!!!
chiedo venia per la castroneria che ho scritto
Non ti devi scusare, figurati. E' solo per evitare di confondere le idee a gnappo90 che ho preferito precisare.
sarebbe (1-x)^3 cioè x1=x2=x3=1
cioè moltiplico i 3 polinomi sulla diagonale..giusto?
cioè moltiplico i 3 polinomi sulla diagonale..giusto?
Ehm direi di no.
Come lo calcoli il determinante?
Dato che hai una matrice 3x3 ti suggerisco di guardare la regola di Sarrus
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinan ... i_ordine_3
Come lo calcoli il determinante?
Dato che hai una matrice 3x3 ti suggerisco di guardare la regola di Sarrus
http://it.wikipedia.org/wiki/Determinan ... i_ordine_3
il determinate secondo sarrus sarebbe (1-x)^3*16-[6*(1-x)+18(1-x)] =1+3x^2 -3x-x^3-24-24x =-x^3+3x^2-27x-23
cosa faccio adesso?
cosa faccio adesso?
TI rispondo con la frase che ti ho scritto qualche post fa
"Summerwind78":
calcoli il determinante (lasciando $x$ indicato ovviamente) e ti esce il polinomio caratteristico. Gli autovalori non sono altro che i valori di $x$ tali per cui il polinomio diventa zero
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