Polinomi in x a coefficienti in un campo K

[MarinaxMBx]

Dato
$R_n[x]={p(x)$ t. c. grado di $ p<=n}$
So che, fissato un n, se il grado di p=n non parliamo più di spazi vettoriali (di cosa parliamo?). Ma non capisco proprio perché, e non saprei come dimostrarlo.
Mi date una mano?

[billyballo2123]

Fissato $n\in\mathbb{N}$, se consideri l'insieme $\overline{R}_n[x]=\{p(x)|gr(p)=n\}$, non ottieni uno spazio vettoriale. Una delle tante cose che puoi dire a sostegno di quest'affermazione, è che uno spazio vettoriale dovrebbe avere l'elemento neutro (lo zero), ma il polinomio nullo non può stare in $\overline{R}_n[x]$ dato che ha grado zero (e non $n$).

[MarinaxMBx]

Grazie mille!
Potrei fare un discorso analogo per l'identità moltiplicativa? (1 non esiste perché il polinomio "1" ha grado zero?)

Mentre l'inverso rispetto alla somma dovrebbe esistere senza problemi...o no?

[billyballo2123]

Non ha senso parlare di inverso. L'inverso di un vettore è un altro vettore che sommato al primo dà il vettore nullo. Ma in questo caso il vettore nullo non esiste (in $\overline{R}_n[x]$).

A che identità moltiplicativa ti riferisci?? Negli spazi vettoriali non c'è la moltiplicazione tra vettori.

[MarinaxMBx]

Mi riferivo al prodotto esterno, ma pensando alla definizione di prodotto esterno ho capito l'errore, grazie!