Polinomi in $RR[x]$
Scusate vorrei chiedere una conferma su un esercizio.....
"In $RR[x]$ si consideri il sottospazio vettoriale $T={p in RR[x]|deg(p)<=6 ; p(pi-i)=p(sqrt(2))=p(pi)=0$ ; si indichi una base di T"
Mi ha messo abbastanza in difficoltà questo esercizio e l'unica risposta che mi è venuta in mente è che $pi$-i dovrebbe essere trascendente su $p in RR[x]$ cosìchè non esistono dei coefficienti a,b,c,d,e,f,g con almeno uno diverso da zero tale che $ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0$ così devono per forza essere tutti uguali a zero e quindi $T={0}$.....
Volendo si possono anche fare dei calcoli
$a(pi-i)^6+b(pi-i)^5+c(pi-i)^4+d(pi-i)^3+e(pi-i)^2+f(pi-i)+g=$
$=a(sqrt(2))^6+b(sqrt(2))^5+c(sqrt(2))^4+d(sqrt(2))^3+e(sqrt(2))^2+$
$+f(sqrt(2))+g=a(pi)^6+b(pi)^5+c(pi)^4+d(pi)^3+e(pi)^2+f(pi)+g=0$
Si può anche considerare il polinomio $a(i+sqrt(2))^6+b(i+sqrt(2))^5+c(i+sqrt(2))^4+d(i+sqrt(2))^3+e(i+sqrt(2))^2+f(i+sqrt(2))+g=0$
Che credo sia sempre trascendente su $RR[X]$
Che ne dite? basta questo per rispondere? Grazie in anticipo
"In $RR[x]$ si consideri il sottospazio vettoriale $T={p in RR[x]|deg(p)<=6 ; p(pi-i)=p(sqrt(2))=p(pi)=0$ ; si indichi una base di T"
Mi ha messo abbastanza in difficoltà questo esercizio e l'unica risposta che mi è venuta in mente è che $pi$-i dovrebbe essere trascendente su $p in RR[x]$ cosìchè non esistono dei coefficienti a,b,c,d,e,f,g con almeno uno diverso da zero tale che $ax^6+bx^5+cx^4+dx^3+ex^2+fx+g=0$ così devono per forza essere tutti uguali a zero e quindi $T={0}$.....
Volendo si possono anche fare dei calcoli
$a(pi-i)^6+b(pi-i)^5+c(pi-i)^4+d(pi-i)^3+e(pi-i)^2+f(pi-i)+g=$
$=a(sqrt(2))^6+b(sqrt(2))^5+c(sqrt(2))^4+d(sqrt(2))^3+e(sqrt(2))^2+$
$+f(sqrt(2))+g=a(pi)^6+b(pi)^5+c(pi)^4+d(pi)^3+e(pi)^2+f(pi)+g=0$
Si può anche considerare il polinomio $a(i+sqrt(2))^6+b(i+sqrt(2))^5+c(i+sqrt(2))^4+d(i+sqrt(2))^3+e(i+sqrt(2))^2+f(i+sqrt(2))+g=0$
Che credo sia sempre trascendente su $RR[X]$
Che ne dite? basta questo per rispondere? Grazie in anticipo
Risposte
Attento a non fare confusione: $pi-i$ è trascendente su $QQ$, ma non su $RR$: è uno zero del polinomio $(x-pi)^2+1$.
Nessun elemento di $CC$ è trascendente su $RR$.
Puoi partire dal fatto che un generico elemento di $T$ diverso da zero è un polinomio della forma $(x-(pi-i))(x-sqrt{2})(x-pi)f(x)$ con $f(x)$ polinomio di grado $le 3$ a coefficienti in $RR$.
Nessun elemento di $CC$ è trascendente su $RR$.
Puoi partire dal fatto che un generico elemento di $T$ diverso da zero è un polinomio della forma $(x-(pi-i))(x-sqrt{2})(x-pi)f(x)$ con $f(x)$ polinomio di grado $le 3$ a coefficienti in $RR$.
Ora ho capito...grazie mille......$(pi-i),(sqrt(2)),(pi)$ sono tre radici di p(x)
Però ancora non riesco a concludere l'esercizio.......Quindi $p(x)=(x-pi+i)(x-pi)(x-sqrt(2))f(x)$ Una base di $f(x)=$ e T avrà dimensione 4...ma come scrivere una base?
Però ancora non riesco a concludere l'esercizio.......Quindi $p(x)=(x-pi+i)(x-pi)(x-sqrt(2))f(x)$ Una base di $f(x)=
Ora mi è venuto in mente che si potrebbe impostare il sistema....
$\{(a(pi-i)^6+b(pi-i)^5+c(pi-i)^4+d(pi-i)^3+e(pi-i)^2+f(pi-i)+g=0),(a(sqrt(2))^6+b(sqrt(2))^5+c(sqrt(2))^4+d(sqrt(2))^3+e(sqrt(2))^2+f(sqrt(2))+g=0),(a(pi)^6+b(pi)^5+c(pi)^4+d(pi)^3+e(pi)^2+f(pi)+g=0):}$
Così da trovare 4 polinomi che formano una base di T
Ma è molto laborioso...ci sono altri metodi?
$\{(a(pi-i)^6+b(pi-i)^5+c(pi-i)^4+d(pi-i)^3+e(pi-i)^2+f(pi-i)+g=0),(a(sqrt(2))^6+b(sqrt(2))^5+c(sqrt(2))^4+d(sqrt(2))^3+e(sqrt(2))^2+f(sqrt(2))+g=0),(a(pi)^6+b(pi)^5+c(pi)^4+d(pi)^3+e(pi)^2+f(pi)+g=0):}$
Così da trovare 4 polinomi che formano una base di T
Ma è molto laborioso...ci sono altri metodi?
Non ti consiglio di pensare di impostare sistemi strani. E' un procedimento troppo elaborato.
Siccome ogni elemento di [tex]T[/tex] e' della forma [tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot f(x)[/tex] con [tex]f(x)[/tex] polinomio di grado $le 3$ a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex], puoi scrivere un generico elemento di [tex]T[/tex] come segue:
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot (ax^3+bx^2+cx+d)[/tex].
Questo ti dice qualcosa?
Siccome ogni elemento di [tex]T[/tex] e' della forma [tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot f(x)[/tex] con [tex]f(x)[/tex] polinomio di grado $le 3$ a coefficienti in [tex]\mathbb{R}[/tex], puoi scrivere un generico elemento di [tex]T[/tex] come segue:
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot (ax^3+bx^2+cx+d)[/tex].
Questo ti dice qualcosa?
A me verrebbe in mente di fare le moltiplicazioni e vedere i coefficienti di a,b,c,d....quelli sono i vettori che compongono una base di T...
....ma questo è un procedimento meccanico molto lungo e non credo sia il più adatto.....
Per ora non mi viene in mente altro.......
....ma questo è un procedimento meccanico molto lungo e non credo sia il più adatto.....
Per ora non mi viene in mente altro.......
Se non ti viene in mente niente vuol dire che non hai fatto abbastanza esercizi sugli spazi vettoriali. Non e' una critica, solo una constatazione.
Un generico elemento di [tex]T[/tex] si scrive cosi':
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot (ax^3+bx^2+cx+d)[/tex].
Quindi una base per [tex]T[/tex] e' formata dai seguenti quattro elementi:
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi)[/tex]
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot x[/tex]
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot x^2[/tex]
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot x^3[/tex]
Un generico elemento di [tex]T[/tex] si scrive cosi':
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot (ax^3+bx^2+cx+d)[/tex].
Quindi una base per [tex]T[/tex] e' formata dai seguenti quattro elementi:
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi)[/tex]
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot x[/tex]
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot x^2[/tex]
[tex](x-(\pi-i)) \cdot (x-\sqrt{2}) \cdot (x-\pi) \cdot x^3[/tex]
Hai ragione, non avevo mai lavorato sugli spazi vettoriali di polinomi.....
Ora è tutto più chiaro, grazie mille
Ora è tutto più chiaro, grazie mille
Prego, ciao alla prossima!
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