Polinomi in $\mathbb{R}_3[t]$
Mostrare che il sottoinsieme formato dai polinomi in $\mathbb{R}_3[t]$ che si annullano nel punto 1 è anch'esso uno spazio vettoriale. Sapreste trovarne una base?
Questo è quello che sono riuscito a fare:
Un polinomio $p(x) = at^3 + bt^2 + ct + d$ di grado 3 in $\mathbb{R}_3[t]$ è esprimibile in forma vettoriale come $((a),(b),(c),(d))$.
Una cosa che non sono riuscito a capire è come esprimere la condizione che il polinomio si annulli nel punto 1.
Questo è quello che sono riuscito a fare:
Un polinomio $p(x) = at^3 + bt^2 + ct + d$ di grado 3 in $\mathbb{R}_3[t]$ è esprimibile in forma vettoriale come $((a),(b),(c),(d))$.
Una cosa che non sono riuscito a capire è come esprimere la condizione che il polinomio si annulli nel punto 1.
Risposte
Il polinomio considerato è il generico polinomio del tipo $ax^3+bx^2+cx+d=p(x) $ . Imponendo la condizione che il polinomio debba avere come radice $x=1$ si ottiene subito che $a+b+c+d=0$. Quindi si può scrivere uno dei quattro coefficienti in funzione degli altri tre, per cui una base sarà per esempio:
$ B={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) ,( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( -1 ) )} $
per cui questo spazio vettoriale ha dimensione 3. Verificare che si tratta di uno spazio vettoriale è immediato.
Puoi verificare che qualsiasi polinomio di grado minore o uguale a 3 che si annulla per $ x=1$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base B .
$ B={( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( -1 ) ) ,( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( -1 ) ),( ( 0 ),( 0 ),( 1 ),( -1 ) )} $
per cui questo spazio vettoriale ha dimensione 3. Verificare che si tratta di uno spazio vettoriale è immediato.
Puoi verificare che qualsiasi polinomio di grado minore o uguale a 3 che si annulla per $ x=1$ si può scrivere come combinazione lineare dei vettori della base B .
@aless12p Mi fu fatto notare che la scrittura corretta è \(\displaystyle\mathbb{R}[t]_3\), poiché se no tu stai considerando l'anello dei polinomi in una indeterminata a coefficienti in \(\displaystyle\mathbb{R}_3\)!
Te lo scrivo perché può aiutarti nella comunicazione.
Te lo scrivo perché può aiutarti nella comunicazione.
Ti ringrazio molto per la precisazione, sono una persona che presta molta attenzione ai dettagli, in special modo in questo caso, essendo questa una precisazione sostanziale.
Tuttavia, in tal caso, qualcuno dovrebbe prendere in considerazione l'idea di contattare gli autori del libro "Marco Abate, Chiara de Fabritiis, Esercizi di Geometria", nel quale è presente proprio quella scrittura. Posto una scansione della pagina incriminata, con una freccia rossa sull'errore: http://img600.imageshack.us/img600/1533/v6ty.jpg
Per il resto, devo dire che questo libro di esercizi è bellissimo, e lo è anche il correlato libro di teoria.
Tuttavia, in tal caso, qualcuno dovrebbe prendere in considerazione l'idea di contattare gli autori del libro "Marco Abate, Chiara de Fabritiis, Esercizi di Geometria", nel quale è presente proprio quella scrittura. Posto una scansione della pagina incriminata, con una freccia rossa sull'errore: http://img600.imageshack.us/img600/1533/v6ty.jpg
Per il resto, devo dire che questo libro di esercizi è bellissimo, e lo è anche il correlato libro di teoria.
Ho verificato che effettivamente un polinomio che si annulla in $1$ può essere scritto come combinazione lineare della base $B$. Per esempio, il polinomio $t^3 + t^2 -2$ dà origine al seguente sistema:
\begin{array}{ccccc} \alpha_1 & & & = & 1 \\ & \alpha_2 & & = & 1 \\ & & \alpha_3 & = & 0 \\ - \alpha_1 & - \alpha_2 & -\alpha_3 & = & - 2 \end{array}
In particolare, la quarta equazione è soddisfatta. Ma per quale motivo lo è? Come mai la terna $(-1,-1,-1)$ dei quarti elementi dei tre vettori della base $B$ sono tali che, sommati, danno il termine noto (nel caso di sopra, $-2$)?
Inoltre, ho verificato unicamente il caso per $t^3 + t^2 -2$. Come si fa a dimostrare che quella proposizione vale per tutti i polinomi che si annullano in $1$?
I coefficienti $a, b, c, d$ non hanno relazioni che li legano. Perché allora uno di loro può essere scritto in funzione degli altri tre?
\begin{array}{ccccc} \alpha_1 & & & = & 1 \\ & \alpha_2 & & = & 1 \\ & & \alpha_3 & = & 0 \\ - \alpha_1 & - \alpha_2 & -\alpha_3 & = & - 2 \end{array}
In particolare, la quarta equazione è soddisfatta. Ma per quale motivo lo è? Come mai la terna $(-1,-1,-1)$ dei quarti elementi dei tre vettori della base $B$ sono tali che, sommati, danno il termine noto (nel caso di sopra, $-2$)?
Inoltre, ho verificato unicamente il caso per $t^3 + t^2 -2$. Come si fa a dimostrare che quella proposizione vale per tutti i polinomi che si annullano in $1$?
I coefficienti $a, b, c, d$ non hanno relazioni che li legano. Perché allora uno di loro può essere scritto in funzione degli altri tre?
In realtà ciò che sbagli è affermare che i coefficienti del generico polinomio di grado minore o uguale a 3 che si annulla per $x=1$ non siano legati da alcuna equazione. Se $p(x)=ax^3+bx^2+cx+d $ è il polinomio tipo , allora $p(1)=a+b+c+d=0 $ questa è la condizione che lega i coefficienti $a,b,c,d$ tra di loro. Ogni condizione indipendente sul polinomio considerato diminuisce (generalmente) la dimensione dello spazio vettoriale di un'unità: lo spazio dei polinomi aventi grado $<=3$ ha dimensione $4$; imponendo la condizione sopra citata la dimensione si abbassa di un'unità e passa a $3$. Ecco perchè la base che ho scritto è formata da 3 vettori.
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