Polinomi di grado dispari

[thedarkhero]

Sia V lo spazio vettoriale su K dei polinomi di grado minore o uguale a 4.
Scrivere una base di U, sottospazio di V contenente il polinomio nullo e tutti i polinomi di V di grado dispari.

Sicuramente l'ultima coordinata di ogni vettore della base è 0 ma le altre?

[Gaal Dornick]

Idee?

prova ad esempio a scrivere il primo insieme di generatori che ti viene in mente, e poi vediamo come renderlo libero.

[thedarkhero]

U non è sottospazio di V. Ammette comunque una base?

[franced]

I polinomi di grado dispari non sono un sottospazio vettoriale.

I polinomi dispari con grado [tex]\leq 4[/tex] formano invece un sottospazio vettoriale e
si scrivono nel modo seguente:

[tex]P(x) = a x + b x^3[/tex]

quindi la dimensione del sottospazio è due.

Diverso è il caso dei polinomi con grado dispari: non si tratta di un gioco di parole,
ma di due cose diverse!

[Gaal Dornick]

Mmmm. Effettivamente sono stato frettoloso.

ad esempio $p(x)=x^3+x^2$ e $q(x)=-x^3+x^2$ sono polinomi di $U$, ma la somma non è in $U$.
Quindi non è un sottospazio. Quindi non ha senso parlare di base (dato che il concetto si definisce solo sugli spazi vettoriali).

[thedarkhero]

franced e Gaal Dornick, mi state dicendo due cose diverse. Mettiamoci d'accordo

@franced: i polinomi di grado dispari non sono solo quelli dove tutti i termini hanno grado dispari, no?

[Gatto891]

Beh c'è poco da dire, $U$ non è chiuso rispetto alla somma quindi non è un sottospazio vettoriale quindi non ha senso parlare di base. Franced (come me e come chiunque risponda) ha dato per buono il testo dell'esercizio che diceva che $U$ era un sottospazio vettoriale, cosa che invece non è.

[franced]

Attenzione: io ho letto in modo superficiale il testo dell'esercizio.

Io ho inteso: polinomi dispari, NON di grado dispari.
In pratica ho trattato dei polinomi che, visti come funzioni, sono
dispari, ovvero $f(x) = - f(-x)$.

Infatti, se guardate la mia risposta ho scritto

$p(x) = ax + bx^3$

facciamo quindi ordine:
i polinomi dispari sono un sottospazio;
i polinomi di grado dispari non sono un sottospazio.

[thedarkhero]

Variante: supponiamo di voler scrivere una base di .
contiene vettori del tipo $((0),(0),(0),(0),(0))$ oppure $((alpha),(beta),(gamma),(1),(0))$ oppure ((delta),(1),(0),(0),(0)).
Quindi $ = <((0),(0),(0),(0),(0)),((0),(0),(0),(1),(0)),((1),(0),(0),(1),(0)),((0),(1),(0),(1),(0)),((0),(0),(1),(1),(0)),((0),(1),(0),(0),(0)),((1),(1),(0),(0),(0))> = <((0),(0),(0),(1),(0)),((1),(0),(0),(1),(0)),((0),(1),(0),(1),(0)),((0),(0),(1),(1),(0))>$.
Giusto?