Polinomi come vettori di prodotti scalari

[skeletro1]

ho $<,>:R_(2[t])*R_(2[t]) -> R, =p(0)q(0)+p(1)q(-1)+p(-1)q(1)+3p'(0)q'(0)$ dove l'apice sta per derivata e devo trovare la matrice $S$ che lo rappresenta rispetto a $B={1,t,t^2}$ mi servirebbe anche un modo per capire come è definito il prodotto
io ho provato cosi $p(0)=a_0+a_1*0+a_2*0^2=a_0$ stessa cosa per $q$ poi
$p(1)=a_0+a_1*1+a_2*1^2=a_0+a_1+a_2$
$p(-1)=a_0+a_1*(-1)+a_2*(-1)^2=a_0-a_1+a_2$
$p'(0)=(a_0+a_1*t+a_2*t^2)'=a_1+a_2*0=a_1$
cosi posso esprimerlo come $ =(a_0b_0)+(a_0+a_1+a_2)(b_0-b_1+b_2)+(b_0+b_1+b_2)(a_0-a_1+a_2)+3(a_1b_1)=(a_0b_0)+2(a_0b_0)+2(a_0b_2)+2(a_2b_0)+2(a_2b_2)-2(a_1b_1)+3(a_1b_1)$
$=3(a_0b_0)+2(a_0b_2)+2(a_2b_0)+2(a_2b_2)+(a_1b_1)$da qui ricavo $S$ rispetto la base canonica che è semplice da vedere $S=( ( 3 , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 2 , 0 , 2 ) )$ e sembra funzionare il tutto ma c'è un modo più semplice per giungere alla stessa matrice?
poi posso calcolare i autovalori di questa matrice per determinare se e def. positiva, negativa ecc osservando gli autovalori di $S$?

pls rispondetemi è importante

una altra domanda se ho una base $B$ la matrice $A$ composta nelle colonne dai vettori di $B$ allora $A$ è la matrice di cambiamento di base da $B$ a $E$ dove $E$ è base canonica o da $E$ a $B$?

grazie del attenzione e un salutone

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