Polinomi
Buonasera a tutti, ho qui questo (lungo) esercizio sui sottospazi polinomiali :
Si considerino i seguenti vettori dello spazio vettoriale $RR[x]$
$f(x)=x^5+2x^6-x^8$
$g(x)=x^6+3x^8$
$h(x)=2x^5+5x^6+x^8$
$k(x)=2g(x)=2x^6+6x^8$
Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (motivando la risposta)
$1)\ 2f(x)+g(x)-h(x)$ è il polinomio nullo
$2)\ f(x)$ e $h(x)$ sono linearmente dipendenti
$3)$ Ciascuno dei vettori $f(x), g(x),h(x)$ può essere espresso come combinazione lineare degli altri due
$4) {f(x),g(x),k(x)} $ è un sistema linearmente indipendente
$5)$ Ciascuno dei vettori $f(x),g(x),k(x)$ può essere espresso come combinazione lineare degli altri due
$6)$ Il vettore $l(x)=3k(x)$ può essere espresso in unico modo come combinazione lineare di $f(x),g(x),k(x)$
Ovviamente non vi chiedo di risolvere tutti e $6$ i punti, ci mancherebbe altro, più che altro vorrei sapere che modo potrei utilizzare per risolvere questo esercizio : avevo pensato di trasformare i polinomi nei loro vettori in base canonica, per poi creare una matrice, anche se viene effettivamente enorme pensando che sono di grado al più $8$
A parte il punto $1$ che mi sembra immediato, gli altri 5 come li risolvereste voi?
Si considerino i seguenti vettori dello spazio vettoriale $RR[x]$
$f(x)=x^5+2x^6-x^8$
$g(x)=x^6+3x^8$
$h(x)=2x^5+5x^6+x^8$
$k(x)=2g(x)=2x^6+6x^8$
Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false (motivando la risposta)
$1)\ 2f(x)+g(x)-h(x)$ è il polinomio nullo
$2)\ f(x)$ e $h(x)$ sono linearmente dipendenti
$3)$ Ciascuno dei vettori $f(x), g(x),h(x)$ può essere espresso come combinazione lineare degli altri due
$4) {f(x),g(x),k(x)} $ è un sistema linearmente indipendente
$5)$ Ciascuno dei vettori $f(x),g(x),k(x)$ può essere espresso come combinazione lineare degli altri due
$6)$ Il vettore $l(x)=3k(x)$ può essere espresso in unico modo come combinazione lineare di $f(x),g(x),k(x)$
Ovviamente non vi chiedo di risolvere tutti e $6$ i punti, ci mancherebbe altro, più che altro vorrei sapere che modo potrei utilizzare per risolvere questo esercizio : avevo pensato di trasformare i polinomi nei loro vettori in base canonica, per poi creare una matrice, anche se viene effettivamente enorme pensando che sono di grado al più $8$
A parte il punto $1$ che mi sembra immediato, gli altri 5 come li risolvereste voi?
Risposte
2) usa la definizione di lineare indipendenza e verifica se lo sono o meno+
3) come il punto 2)
4) se hai $k(x)=2g(x)$ significa che sono l.d. e quindi un loro insieme non può essere l.i.
5) come 2) e 3)
6) non saprei come fare per l'unicità... per dimostrare la combinazione lineare puoi fare come in 2) e trovare i coefficienti. o forse dimostrare che l'insieme formato dai tre polinomi è una base? non so...
3) come il punto 2)
4) se hai $k(x)=2g(x)$ significa che sono l.d. e quindi un loro insieme non può essere l.i.
5) come 2) e 3)
6) non saprei come fare per l'unicità... per dimostrare la combinazione lineare puoi fare come in 2) e trovare i coefficienti. o forse dimostrare che l'insieme formato dai tre polinomi è una base? non so...
Direi che il punto \(6\) è banalmente falso. Basta osservare che \(l(x) = 3\,k(x) = 6\,g(x)\) per le definizioni di \(l(x)\) e \(k(x)\). Se la domanda avesse riguardato \(h(x)\) invece di \(g(x)\) sarebbe stato necessario fare qualche considerazione in più. In particolare dipendeva dalla risposta al punto \(3\). Per la definizione di \(l(x)\) esistono infatti almeno due modi diversi di scriverlo con quei vettori solo se \(k(x)\) può essere scritto a partire dagli altri due.
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