Poligoni regolari e circonferenza
Volevo fare una domanda, forse banale, ma non l'avevo mai pensata in questi termini.
Se considero un poligono regolare come una curva della geometria differenziale, come faccio a dimostrare che al crescere del numero dei lati il poligono regolare "tende" ad una circonferenza.
Mi interessa una dimostrazione analitica, non geometrica intuitiva o basata su disegni.
Il problema è: "tende" in che senso ?
Non mi interessa la lunghezza o l'area del poligono regolare "limite", io voglio che "tenda" alla circonferenza proprio nel senso di forma circolare.
Se considero un poligono regolare come una curva della geometria differenziale, come faccio a dimostrare che al crescere del numero dei lati il poligono regolare "tende" ad una circonferenza.
Mi interessa una dimostrazione analitica, non geometrica intuitiva o basata su disegni.
Il problema è: "tende" in che senso ?
Non mi interessa la lunghezza o l'area del poligono regolare "limite", io voglio che "tenda" alla circonferenza proprio nel senso di forma circolare.
Risposte
Certamente se consideri una successione di parametrizzazioni \(\gamma_n\colon [0, 2\pi]\to \mathbb{R}^2\), dove $n$ è il numero dei lati e $\gamma_n(0)=\gamma_n(\2\pi)=(1,0)$, allora devi avere convergenza uniforme in $\gamma_n \to (\cos \theta, \sin \theta)$. (Forse ci vuole l'ipotesi che la velocità scalare sia costante, tranne ovviamente che negli angoli dove non è ben definita).
La dimostrazione è un po' una seccatura ma volendo ci si puo' pensare. Non dovrebbe essere difficile.
Per un discorso più avanzato, si puo' considerare la distanza di Hausdorff che rende l'insieme dei sottoinsiemi compatti di $\mathbb{R}^n$ uno spazio metrico completo. Sono sicuro che i poligoni tendono alla circonferenza rispetto a questa distanza.
Comunque so che esistono molti concetti differenti di "distanza" tra figure geometriche. Proprio di recente seguivo questa discussione in cui si parlava della questione (cfr. l'immagine scansionata contenuta nel link). Di queste cose io non so nulla, ma sul forum ci sono degli esperti, nella stanza di Analisi.
La dimostrazione è un po' una seccatura ma volendo ci si puo' pensare. Non dovrebbe essere difficile.
Per un discorso più avanzato, si puo' considerare la distanza di Hausdorff che rende l'insieme dei sottoinsiemi compatti di $\mathbb{R}^n$ uno spazio metrico completo. Sono sicuro che i poligoni tendono alla circonferenza rispetto a questa distanza.
Comunque so che esistono molti concetti differenti di "distanza" tra figure geometriche. Proprio di recente seguivo questa discussione in cui si parlava della questione (cfr. l'immagine scansionata contenuta nel link). Di queste cose io non so nulla, ma sul forum ci sono degli esperti, nella stanza di Analisi.
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