Polare di un punto improprio
Salve a tutti. Ho un piccolo dubbio per quanto riguarda le polari di un punto improprio, ad esempio ho la seguente conica:
$Gamma)3x^2-4xy+y^2-x-3=0$
Costruendo la matrice associata, e facendo il $detA$ e quello di $A_33$ mi accorgo che è un iperbole.
Ora per trovarmi il centro dell'iperbole devo intersecare 2 diametri qualunque cioè due polari di 2 punti impropri, ora quello che non ho capito bene è quali sono le polari dei punti impropri? Sui miei appunti ho fatto l'intersezione dei punti $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ ma non ricordo il perchè.
$Gamma)3x^2-4xy+y^2-x-3=0$
Costruendo la matrice associata, e facendo il $detA$ e quello di $A_33$ mi accorgo che è un iperbole.
Ora per trovarmi il centro dell'iperbole devo intersecare 2 diametri qualunque cioè due polari di 2 punti impropri, ora quello che non ho capito bene è quali sono le polari dei punti impropri? Sui miei appunti ho fatto l'intersezione dei punti $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ ma non ricordo il perchè.
Risposte
Per definizione il centro di una conica è il polo della retta impropria del piano della conica medesima. Di conseguenza ogni diametro della conica ( ovvero ogni retta passante per il centro ) è la polare di un punto della retta impropria, ovvero di un punto improprio. L'equazione della polare ( rispetto ad una conica data ) del generico punto di coordinate proiettive \( (x_o,y_o,t_o)^T\) è data da :
\( ( x_o,y_o,t_o)A\begin{pmatrix}x\\y\\t\end{pmatrix}=0 \)
dove A è la matrice associata alla conica.
Applicando questa formula ai punti \((1,0,0)^T, (0,1,0)^T\) [che sono poi le direzioni dell'asse X e dell'asse Y del piano proiettivo], ottieni le equazioni dei diametri corrispondenti :
\(6x-4y-t=0\)
\(-4x+2y=0\)
Risolvendo il sistema (omogeneo) formato della equazioni suddette hai il punto comune ai due diametri, ovvero il centro C della conica in coordinate proiettive:
\(C=(-1,-2,2)^T\)
In coordinate affini risulta : \(C=(-\frac{1}{2},-1)^T\)
Il centro C si può trovare anche in altro modo direttamente dalla matrice A.
N.B. Per indicare le coordinate proiettive ho usato la notazione \((x,y,t)\). Altri usano la notazione \((t,x,y)\)
\( ( x_o,y_o,t_o)A\begin{pmatrix}x\\y\\t\end{pmatrix}=0 \)
dove A è la matrice associata alla conica.
Applicando questa formula ai punti \((1,0,0)^T, (0,1,0)^T\) [che sono poi le direzioni dell'asse X e dell'asse Y del piano proiettivo], ottieni le equazioni dei diametri corrispondenti :
\(6x-4y-t=0\)
\(-4x+2y=0\)
Risolvendo il sistema (omogeneo) formato della equazioni suddette hai il punto comune ai due diametri, ovvero il centro C della conica in coordinate proiettive:
\(C=(-1,-2,2)^T\)
In coordinate affini risulta : \(C=(-\frac{1}{2},-1)^T\)
Il centro C si può trovare anche in altro modo direttamente dalla matrice A.
N.B. Per indicare le coordinate proiettive ho usato la notazione \((x,y,t)\). Altri usano la notazione \((t,x,y)\)
Ciao grazie per avermi risposto,però scusami una cosa, quello che non capisco è il fatto che per trovare il centro bisogna intersecare la polare di due punti impropri, ma $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ come fanno ad essere dei punti impropri ?
Visto che è questo l'iperbole
Come fa ad incontrarsi all'infinito nel punto $(1,0,0)$ ?
Visto che è questo l'iperbole
Come fa ad incontrarsi all'infinito nel punto $(1,0,0)$ ?
I punti impropri del piano proiettivo del tipo \((x,y,t)\) sono quelli che hanno la terza coordinata nulla : \(t=0\)
Quanto all'altra domanda, forse stai facendo un po' di confusione. L'iperbole non passa per il punto (1,0,0) ( e né per il punto (0,1,0) ). Questi punti sono impropri perché hanno la terza coordinata nulla ma non fanno parte dell'iperbole: i punti impropri di tale curva sono altri...
Quanto all'altra domanda, forse stai facendo un po' di confusione. L'iperbole non passa per il punto (1,0,0) ( e né per il punto (0,1,0) ). Questi punti sono impropri perché hanno la terza coordinata nulla ma non fanno parte dell'iperbole: i punti impropri di tale curva sono altri...
Infatti ho un po di confusione in testa con i punti impropri poiché non riesco a collegare il fatto che un punto sul riferimento cartesiano avente z=0 come possa essere improprio.Graficamente non so come immaginarlo, specialmente in questo esercizio...Nel esercizio potevo scegliere anche $(2,0,0)$? poichè ha la terza coordinata 0?
I punti proiettivi \((x,y,t)\) sono definiti a meno di un fattore di proporzionalità. Questo significa che \((x,y,t),(kx,ky,kt)\) rappresentano lo stesso punto. Da questo punto di vista i punti \((2,0,0),(1,0,0)\) sono identici. Tuttavia non vedo il vantaggio l' usare il primo punto piuttosto che il secondo ...
P.S. Non conviene adoperare la notazione (\(x,y,z)\) : si può correre il rischio di pensare di avere a che fare con punti dello spazio piuttosto che del piano. Comunque di tratta di sottigliezze formali non rilevanti...
P.S. Non conviene adoperare la notazione (\(x,y,z)\) : si può correre il rischio di pensare di avere a che fare con punti dello spazio piuttosto che del piano. Comunque di tratta di sottigliezze formali non rilevanti...
Capisco, cercherò di astrarre il più possibile il concetto di punti proiettivi negli esercizi... Un ultima cosa ti volevo chiedere,
io so che la retta impropria è quella retta che ha tutti i punti come ascissa uguale a zero ovvero la retta x=0
Perché andando a studiare la teoria delle coniche, quando si interseca una conica con la retta impropria viene detto che la retta impropria ha equazione z=0???
io so che la retta impropria è quella retta che ha tutti i punti come ascissa uguale a zero ovvero la retta x=0
Perché andando a studiare la teoria delle coniche, quando si interseca una conica con la retta impropria viene detto che la retta impropria ha equazione z=0???
E' un problema di notazioni . Alcuni autori indicano le coordinate proiettive con la notazione $(x,y,z)$, dove la terza coordinata z indica che il punto è proprio qualora sia $z\ne 0$, improprio se invece fosse $z=0$ .
Altri autori attribuiscono questa convenzione alla prima coordinata x. Insomma è un pasticcio e sarebbe bene che si mettessero d'accordo, una volta per tutte, per un'unica notazione...
Altri autori attribuiscono questa convenzione alla prima coordinata x. Insomma è un pasticcio e sarebbe bene che si mettessero d'accordo, una volta per tutte, per un'unica notazione...
Scusami per quanto riguarda il fatto della retta impropria sapresti dirmi qualcosa?
Praticamente ti avevo già risposto prima. L'equazione della retta impropria del piano proiettivo è $z=0$ oppure $x=0$ a seconda se la coordinata omogenea scelta per rappresentare i punti impropri del piano è la terza coordinata o la prima...
Ah okok scusami... sei stato gentilissimo grazie mille di tuttoooo
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