Planarità con piani non euclidei
Non so se postare qui o in matematica discreta, spostate pure nel caso abbia fatto la scelta sbagliata. Vorrei trovare una risposta al secondo commento di questo post.
L'esistenza della grande maggioranza di questi grafi mi sembra esente da preoccupazioni di tipo metrico. Quelli per cui ho avuto davvero bisogno di controllare se effettivamente si possono realizzare nel piano mi paiono tutti e soli quelli in cui due vertici non adiacenti di un anello chiuso sono connessi da un cammino che include almento altri due spigoli (7-27-1, 8-46-1/2, 8-76-1/2, 8-81-1 e tutti quelli che includono uno di questi cinque; 9-83-1/3, 9-159-1/2/3 9-164-1, 9-177-1 e 9-179-2). Il grafo "$\otimes$" inoltre non esiste con 9 spigoli nel piano euclideo, ma potrebbe in un'altra geometria. La mia impressione è che, rendendo lievemente iperbolico lo spazio (e quindi gli angoli), qualcuno di questo grafi potrebbe presto cessare di esistere (mi riferisco in particolar modo ad 8-81-1), ma non dispongo degli strumenti per testare in modo sistematico la costruibilità di questi grafi per un dato valore della curvatura. Qualcuno potrebbe aiutarmi a rispondere, o indicarmi un procedimento efficiente per arrivare alla risposta?
L'esistenza della grande maggioranza di questi grafi mi sembra esente da preoccupazioni di tipo metrico. Quelli per cui ho avuto davvero bisogno di controllare se effettivamente si possono realizzare nel piano mi paiono tutti e soli quelli in cui due vertici non adiacenti di un anello chiuso sono connessi da un cammino che include almento altri due spigoli (7-27-1, 8-46-1/2, 8-76-1/2, 8-81-1 e tutti quelli che includono uno di questi cinque; 9-83-1/3, 9-159-1/2/3 9-164-1, 9-177-1 e 9-179-2). Il grafo "$\otimes$" inoltre non esiste con 9 spigoli nel piano euclideo, ma potrebbe in un'altra geometria. La mia impressione è che, rendendo lievemente iperbolico lo spazio (e quindi gli angoli), qualcuno di questo grafi potrebbe presto cessare di esistere (mi riferisco in particolar modo ad 8-81-1), ma non dispongo degli strumenti per testare in modo sistematico la costruibilità di questi grafi per un dato valore della curvatura. Qualcuno potrebbe aiutarmi a rispondere, o indicarmi un procedimento efficiente per arrivare alla risposta?
Risposte
Credo che serva una trasformazione in grado di "iperbolizzare" il piano cartesiano, o qualcosa del genere.
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