Pivot e matrice a gradini
Ciao a tutti.
Il mio problema è il seguente.
Ho una matrice $A=((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,t))$ con la quale mi si dice di dover calcolare il rango.
Il problema è che io so che per calcolare il rango si conta il numero di pivot di una matrice a scala.
La matrice sopra citata non è a scala e la soluzione dell'esercizio mi dice che è possibile comunque calcolarne il rango ragionando sui pivot e in particolare che se $t=-1$ la matrice ha tre pivot!
La prima riga non conta come pivot?
Saluti e Grazie!
Il mio problema è il seguente.
Ho una matrice $A=((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,t))$ con la quale mi si dice di dover calcolare il rango.
Il problema è che io so che per calcolare il rango si conta il numero di pivot di una matrice a scala.
La matrice sopra citata non è a scala e la soluzione dell'esercizio mi dice che è possibile comunque calcolarne il rango ragionando sui pivot e in particolare che se $t=-1$ la matrice ha tre pivot!
La prima riga non conta come pivot?
Saluti e Grazie!
Risposte
Se $t=-1$ il rango è 2. Negli altri casi il rango è 3.
"cenzo":
Se $t=-1$ il rango è 2. Negli altri casi il rango è 3.
Perchè?
Con $t=3$ hai $((1,-4,2),(0,4,-1),(0,0,0),(0,0,3))->((1,-4,2),(0,4,-1),(0,0,3),(0,0,0))$, tre pivot e rango 3 (ho scambiato le ultime due righe).
Per $t!=3$ si ha $((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,t))->((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,0))$ Due pivot sono sicuri ($1$ e $t-3!=0$). Il terzo anche purchè $t!=-1$. Quindi rango 3 per $t!=-1$.
Se $t=-1$ hai la matrice
$((1,-4,2),(0,0,-1),(0,0,-4),(0,0,-1))$ che con le mosse di Gauss diventa $((1,-4,2),(0,0,-1),(0,0,0),(0,0,0))$. Due pivot, quindi rango 2.
Per $t!=3$ si ha $((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,t))->((1,-4,2),(0,t+1,-1),(0,0,t-3),(0,0,0))$ Due pivot sono sicuri ($1$ e $t-3!=0$). Il terzo anche purchè $t!=-1$. Quindi rango 3 per $t!=-1$.
Se $t=-1$ hai la matrice
$((1,-4,2),(0,0,-1),(0,0,-4),(0,0,-1))$ che con le mosse di Gauss diventa $((1,-4,2),(0,0,-1),(0,0,0),(0,0,0))$. Due pivot, quindi rango 2.
Quindi una riga a coefficienti priva di elementi nulli conta come pivot?
Devi sempre prima ricondurti alla forma a gradini.
Ad esempio in questa matrice $((1,-4,2),(1,-4,2),(1,-4,2),(1,-4,2))$ hai 4 "righe a coefficienti privi di elementi nulli", però non è in forma a gradini, pertanto non puoi concludere nulla sui pivot.
E infatti con le mosse di Gauss diventa $((1,-4,2),(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$, un pivot, rango 1.
Ad esempio in questa matrice $((1,-4,2),(1,-4,2),(1,-4,2),(1,-4,2))$ hai 4 "righe a coefficienti privi di elementi nulli", però non è in forma a gradini, pertanto non puoi concludere nulla sui pivot.
E infatti con le mosse di Gauss diventa $((1,-4,2),(0,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$, un pivot, rango 1.
Ok ora è chiaro.
Un'altra domanda riguardo il teorema di Rouchè-Capelli.
Mi dice che un sistema ha infinite soluzioni se $rk(A)=rk(A|b)$.
Ma ad esempio se io ho questa matrice:
$A=((-1,3,0),(1,2,-1),(0,0,2t+1))$ e $A|b=((-1,3,0,|,2),(1,2,-1,|,1),(0,0,2t+1,|,5))$ cosa cambia a livello di rango?
Se aggiungo una colonna quando cambia il rango?
Un'altra domanda riguardo il teorema di Rouchè-Capelli.
Mi dice che un sistema ha infinite soluzioni se $rk(A)=rk(A|b)$.
Ma ad esempio se io ho questa matrice:
$A=((-1,3,0),(1,2,-1),(0,0,2t+1))$ e $A|b=((-1,3,0,|,2),(1,2,-1,|,1),(0,0,2t+1,|,5))$ cosa cambia a livello di rango?
Se aggiungo una colonna quando cambia il rango?
"Pozzetto":
Un'altra domanda riguardo il teorema di Rouchè-Capelli.
Mi dice che un sistema ha infinite soluzioni se $rk(A)=rk(A|b)$.
Questo mi risulta falso. Il sistema ammette soluzioni, ma non è detto siano infinite.
"Pozzetto":
Ma ad esempio se io ho questa matrice:
$A=((-1,3,0),(1,2,-1),(0,0,2t+1))$ e $A|b=((-1,3,0,|,2),(1,2,-1,|,1),(0,0,2t+1,|,5))$ cosa cambia a livello di rango?
Se aggiungo una colonna quando cambia il rango?
Se aggiungi una colonna il rango può restare lo stesso o aumentare di uno.
Nel tuo esempio se $t=-1/2$ hai $rk(A)=2$ e $rk(A|b)=3$. Il sistema non ammette soluzioni.
Se $t!=-1/2$ hai $rk(A)=3$ e $rk(A|b)=3$. Il sistema ammette una sola soluzione.
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