Piccolo esercizietto di topologia!
Eccomi di nuovo qua, con un esercizio penso alla portata di tutti.. (forse non mia! 
)
Abbiamo uno spazio topologico compatto $X$, uno spazio di Hausdorff $Y$ e uno spazio quasiasi $Z$.
Sappiamo che $f:X->Y$ è continua e suriettiva, $g:Y->Z$ qualunque e che $g@f$ è continua.
Va dimostrato che anche g è continua!
Innanzi tutto Y è anche lui compatto essendo $f(X)=Y$ immagine continua di un compatto.
Io ho iniziato a scrivere un po' di proprietà (definizioni) delle funzioni continue:
$AA C sube Z$ chiuso, $(g@f)^-1(C) $ è chiuso in X.
Noi vorremmo che $g^-1(C)$ fosse chiuso in Y.
Ho provato per assurdo, ma non riesco ad andare avanti..
Qualche suggerimento?
) Abbiamo uno spazio topologico compatto $X$, uno spazio di Hausdorff $Y$ e uno spazio quasiasi $Z$.
Sappiamo che $f:X->Y$ è continua e suriettiva, $g:Y->Z$ qualunque e che $g@f$ è continua.
Va dimostrato che anche g è continua!
Innanzi tutto Y è anche lui compatto essendo $f(X)=Y$ immagine continua di un compatto.
Io ho iniziato a scrivere un po' di proprietà (definizioni) delle funzioni continue:
$AA C sube Z$ chiuso, $(g@f)^-1(C) $ è chiuso in X.
Noi vorremmo che $g^-1(C)$ fosse chiuso in Y.
Ho provato per assurdo, ma non riesco ad andare avanti..
Qualche suggerimento?
Risposte
Se non sbaglio, f, se è anche iniettiva è un omeomorfismo : in particolare a te interessa, comunque, che è un'applicazione chiusa... perchè? 
Beh se $f$ fosse chiusa avrei
$AA C sube Z$ chiuso, $(f@g)^-1(C)$ chiuso di X (poichè $f$ è continua).
Se è anche chiusa $f[(g@f)^-1](C)$ chiuso di Y cioè $g^-1(C)$ chiuso di Y.
Però... una qualsiasi funzione continua e suriettiva tra uno spazio compatto e uno di Hausdorff è sempre chiusa? Perché?
$AA C sube Z$ chiuso, $(f@g)^-1(C)$ chiuso di X (poichè $f$ è continua).
Se è anche chiusa $f[(g@f)^-1](C)$ chiuso di Y cioè $g^-1(C)$ chiuso di Y.
Però... una qualsiasi funzione continua e suriettiva tra uno spazio compatto e uno di Hausdorff è sempre chiusa? Perché?
Provo a rispondermi da sola!
Sappiamo che f è continua e suriettiva; preso $F sube X$ chiuso, poichè X è compatto anche F sarà compatto.
Perciò immagine continua di un compatto è un compatto $=> f(F)$ è un compatto ed essendo Y uno spazio di Haudorff, $f(F)$ è anch'esso chiuso.
Perciò f è chiusa.
E la suriettività la usiamo per dire che $ f[(g@f)^-1(C)]=f[f^-1(g^-1(C))]$ è proprio $g^-1(C)$, giusto?
Sappiamo che f è continua e suriettiva; preso $F sube X$ chiuso, poichè X è compatto anche F sarà compatto.
Perciò immagine continua di un compatto è un compatto $=> f(F)$ è un compatto ed essendo Y uno spazio di Haudorff, $f(F)$ è anch'esso chiuso.
Perciò f è chiusa.
E la suriettività la usiamo per dire che $ f[(g@f)^-1(C)]=f[f^-1(g^-1(C))]$ è proprio $g^-1(C)$, giusto?
Bravissima, proprio così.
Grazie mille per l'aiuto, davvero gentilissimo! Buona giornata!
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