Piccolo conto tra matrici
Ciao a tutti! mi sono imbattuta in un piccolo conto tra matrici, che a prima vista mi sembrava ovvio, ma ora che mi sono messa un attimo ad esplicitarlo...l'ovvietà è sparita...
L'affermazione in cui mi sono imbattuta è:
sia $G$ una matrice quadrata e $I$ la matrice unitaria, tali che $G-I$ e $G$ commutano. Allora
[tex]R_n=(G-I)^n-G^n=\prod_{i=1}^n[(G-I)- \rho_i G][/tex], dove [tex]\rho_i[/tex] è una radice $n$-esima dell'unità.
Mmm... dunque dunque il mio primo affrettato pensiero è stato: dato che le matrici commutano posso sviluppare le potenze, riordinare in qualche modo e ri-raccogliere. Dato che il coefficiente di $G^n$ è 1, si scomporrà in radici dell'unità...
Tuttavia sviluppando le potenze, questo raggruppamento non riesco a farlo...hint?
L'affermazione in cui mi sono imbattuta è:
sia $G$ una matrice quadrata e $I$ la matrice unitaria, tali che $G-I$ e $G$ commutano. Allora
[tex]R_n=(G-I)^n-G^n=\prod_{i=1}^n[(G-I)- \rho_i G][/tex], dove [tex]\rho_i[/tex] è una radice $n$-esima dell'unità.
Mmm... dunque dunque il mio primo affrettato pensiero è stato: dato che le matrici commutano posso sviluppare le potenze, riordinare in qualche modo e ri-raccogliere. Dato che il coefficiente di $G^n$ è 1, si scomporrà in radici dell'unità...
Tuttavia sviluppando le potenze, questo raggruppamento non riesco a farlo...hint?
Risposte
Ciao,
quando si parla di matrici è bene postare in algebra lineare, quindi sposto.
Quanto al problema, cosa significa che $I$ è "la matrice unitaria"?
Dal momento che $G$ e $G-I$ commutano, puoi pensarli come le due variabili $x$ e $y$ del polinomio $y^n-x^n$, e a questo punto ci riduciamo a scomporre un polinomio omogeneo.
quando si parla di matrici è bene postare in algebra lineare, quindi sposto.
Quanto al problema, cosa significa che $I$ è "la matrice unitaria"?
Dal momento che $G$ e $G-I$ commutano, puoi pensarli come le due variabili $x$ e $y$ del polinomio $y^n-x^n$, e a questo punto ci riduciamo a scomporre un polinomio omogeneo.
Chiedo perdono per lo sbaglio di locazione 
Matrice unitaria nel senso di matrice con tutti uno sulla diagonale e zero altrove.
Quindi..prendendo le matrici come due variabili, $x=G$ e $y=(G-I)$, avrei
[tex]y^n-x^n= \underbrace{ y \dots y}_{n\: volte} - \underbrace{ x \dots x}_{n\: volte} \\ = \underbrace{ y \dots y}_{n\: volte} - \rho_1 \underbrace{ x \dots x}_{n\: volte} - \dots -\rho_n \underbrace{ x \dots x}_{n\: volte}[/tex] ...ma così non trovo raccoglimenti utili...
Matrice unitaria nel senso di matrice con tutti uno sulla diagonale e zero altrove.
Quindi..prendendo le matrici come due variabili, $x=G$ e $y=(G-I)$, avrei
[tex]y^n-x^n= \underbrace{ y \dots y}_{n\: volte} - \underbrace{ x \dots x}_{n\: volte} \\ = \underbrace{ y \dots y}_{n\: volte} - \rho_1 \underbrace{ x \dots x}_{n\: volte} - \dots -\rho_n \underbrace{ x \dots x}_{n\: volte}[/tex] ...ma così non trovo raccoglimenti utili...
Accidenti scusa, nell'ansia di usare queste radici dell'unità, ho scritto una stupidaggine!! Quindi fingi di non vedere l'ultima riga. Anyway...nessun raccoglimento mi è apparso.. 
Chiama $t=y/x$. Allora $y^n-x^n = x^n(t^n-1)$. Poi scomponi $t^n-1$...
Fatto 
! Grazie!
! Grazie!
Infine ho risolto nel modo scritto qui sotto: tuttavia non so se posso scivolare nei numeri complessi e tornare alle matrici con così tanta scioltezze, puoi buttare un occhio?
essendo che $(G-I)$ e $G$ commutano, posso considerarle come due variabili $x$ e $y$ in $CC$ per le quali vale $x^n - y^n=\prod_{i=1}^n (x-\rho_i y)$.
Questo perché se considero $y^n$ come un parametro diverso da 0, le soluzioni di $x^n=y^n$ sono le $\rho_i y$ dove $\rho_i$ sono le radici dell'unità.
Ok?
essendo che $(G-I)$ e $G$ commutano, posso considerarle come due variabili $x$ e $y$ in $CC$ per le quali vale $x^n - y^n=\prod_{i=1}^n (x-\rho_i y)$.
Questo perché se considero $y^n$ come un parametro diverso da 0, le soluzioni di $x^n=y^n$ sono le $\rho_i y$ dove $\rho_i$ sono le radici dell'unità.
Ok?
$x$ e $y$ non appartengono a $CC$, sono delle variabili. Quello che fai con quelle due variabili lo puoi fare anche con le matrici (in particolare, puoi moltiplicare una matrice per un numero complesso, nel tuo caso i $rho_i$). Quindi il tuo procedimento è corretto.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo