Piccola domanda su sistema lineare al variare di k
Salve a tutti, mi ritrovo questo sistema:
$\{(x+y = 1),(x+2y+z=k),(y+z=1):}$
con determinante della matrice incompleta uguale a 0. Come devo ragionare?
(è il primo esercizio che trovo, in cui la matrice mi da determinante uguale a 0..)
$\{(x+y = 1),(x+2y+z=k),(y+z=1):}$
con determinante della matrice incompleta uguale a 0. Come devo ragionare?
(è il primo esercizio che trovo, in cui la matrice mi da determinante uguale a 0..)
Risposte
Se il determinante della matrice dei coefficienti è zero, vuol dire che il suo rango non è massimo (in questo caso è minore di 3). A questo punto potresti ridurre il sistema ad uno con "meno" equazioni e poi ragionare su eventuali scelte possibili da fare per la costante $k$.
E il rango della matrice incompleta quant'è?
Mentre il rango della matrica completa dipenderà da quanto vale $k$
Mentre il rango della matrica completa dipenderà da quanto vale $k$
togliendo la colonna linearmente dipendente (cioè quella di valori (1,2,1)), ho visto che c'era una riga linearmente dipendente (risultava dalla somma delle altre due), quindi il determinante mi viene 1.
ma adesso devo calcolare il rango della matrice completa... però non so a quanto porre $k$
ma adesso devo calcolare il rango della matrice completa... però non so a quanto porre $k$
Non devi "porre $k$" uguale a niente. Prova a prendere un minore di ordine 3 che includa la colonna con il $k$ e calcolalo. Verrà un'espressione in $k$... a seconda che essa sia $0$ o no (cioè che ci sia una condizione su $k$ o no) il rango avrà certi valori rispettivamente... devi fare una discussione dividendo in casi.
Paola
Paola
Vediamo se ho capito, ho scritto la matrice completa:
$|(1,1,0,1),(1,2,1,k),(0,1,1,1)|$
la quale ha determinante uguale a $-k+2$ quindi $k=2$
quindi adesso devo calcolare il rango delle matrici per k=2?
$|(1,1,0,1),(1,2,1,k),(0,1,1,1)|$
la quale ha determinante uguale a $-k+2$ quindi $k=2$
quindi adesso devo calcolare il rango delle matrici per k=2?
La matrice completa non è quadrata.
Non puoi fare il determinante di una matrice non quadrata (come ti è venuto fuori $-k+2$?
)
Bisogna trovare il rango della matrice: $A'=((1,1,0,1),(1,2,1,k),(0,1,1,1))$
Non puoi fare il determinante di una matrice non quadrata (come ti è venuto fuori $-k+2$?
)Bisogna trovare il rango della matrice: $A'=((1,1,0,1),(1,2,1,k),(0,1,1,1))$
"Gi8":
come ti è venuto fuori $-k+2$ ?
ho preso un minore di ordine 3 e ho calcolato il determinante.. il rango di A' non è 3?
Hai calcolato quel minore e hai ottenuto $2-k$. Bene. Allora cosa accade se $k\ne 2$ ai ranghi di $A$ e $A'$? E cosa accade invece nel caso $k=2$?
Questo vuol dire fare la discussione.
Paola
Questo vuol dire fare la discussione.
Paola
Piccolo errore di calcolo, ma vale ancora tutto: era $1-k$
comunque, per $k=1$, rango matrice incompleta 2, matrice completa 3. Quindi il sistema è incompatibile.
Devo calcolare Cramer per $k!=1$?
comunque, per $k=1$, rango matrice incompleta 2, matrice completa 3. Quindi il sistema è incompatibile.
Devo calcolare Cramer per $k!=1$?
Per $k\ne 1$ avevi dunque un minore di ordine 3 non nullo per la matrice completa... quindi il suo rango è? E quello dell'incompleta?
Paola
Paola
Per la completa 3, la incompleta dovrebbe essere 2 invece (per $k!=1$)
Ecco, dunque sistema impossibile.
Paola
Paola
Quindi, ne deduco che in questo esercizio non posso usare Cramer.. e l'esercizio diciamo che si ferma già all'inizio.
Se hai fatto bene i conti, ti viene impossibile in ogni caso.
Immagino però che per calcolare il rango della completa tu abbia preso solo UN minore di ordine 3 con il $k$. Dovresti provare anche con gli altri possibili per controllare che non vengano anche altri casi nella discussione...
Paola
Immagino però che per calcolare il rango della completa tu abbia preso solo UN minore di ordine 3 con il $k$. Dovresti provare anche con gli altri possibili per controllare che non vengano anche altri casi nella discussione...
Paola
ho fatto tutti 3 e i minori di ordine 3, tenendo sempre la colonna dei k, e il determinante mi viene sempre tre, quindi il sistema è impossibile!
Grazie mille
Grazie mille
Scusa prime_number, ho fatto una prova con un altro minimo di ordine 3, il determinante mi viene $2-k$ quindi per $k=2$ mi viene:
$|(1,1,0,1),(1,2,1,2),(0,1,1,1)|$
che ha due colonne uguali, e linearmente dipendenti dalla somma della prima e terza colonna, quindi ha rango 2, uguale alla matrice incompleta. per k=2 posso riscrivere il sistema e fare Cramer??
$|(1,1,0,1),(1,2,1,2),(0,1,1,1)|$
che ha due colonne uguali, e linearmente dipendenti dalla somma della prima e terza colonna, quindi ha rango 2, uguale alla matrice incompleta. per k=2 posso riscrivere il sistema e fare Cramer??
Dato che $r(A)=r(A')<$numero incognite, sei nel caso di sistema indeterminato, mentre Cramer si fa quando il sistema è determinato.
Per cui devi scegliere (numero incognite $- r(A)$)=1 incognita che faccia da parametro e ricavare le altre 2 in sua funzione.
Ti invito a riprendere lo schemino che ti avevo fatto riguardo a Rouchè Capelli e a riscrivertelo da qualche parte per fissare le idee. E' davvero sistematico, non puoi sbagliare... quest'ultima domanda mi ha dato un po' l'impressione che tu abbia chiesto prima di pensare.
buon lavoro
Paola
Per cui devi scegliere (numero incognite $- r(A)$)=1 incognita che faccia da parametro e ricavare le altre 2 in sua funzione.
Ti invito a riprendere lo schemino che ti avevo fatto riguardo a Rouchè Capelli e a riscrivertelo da qualche parte per fissare le idee. E' davvero sistematico, non puoi sbagliare... quest'ultima domanda mi ha dato un po' l'impressione che tu abbia chiesto prima di pensare.
buon lavoroPaola
Preferisco fare brutta figura che rimanere col dubbio (suggerimento accolto, mi scrivo lo schema su Rouche-Capelli e mi faccio un poster in stanza)
ho riscritto il sistema per k=2
$\{(x+y=1),(x+2y+z=2),(y+z=1):}$
la riga di mezzo è linearmente dipendente dalla somma delle altre due.
e quindi
$\{(x-1-z=1),(y=1-z):}$
cioè
$\{(x=z),(y=1-z):}$
se ho fatto bene, mi è venuta la terna (z,1-z,1)
se ho fatto male, spero di poter correggere il prima possibile...
(grazie per la pazienza prime_number )
(suggerimento accolto, mi scrivo lo schema su Rouche-Capelli e mi faccio un poster in stanza)ho riscritto il sistema per k=2
$\{(x+y=1),(x+2y+z=2),(y+z=1):}$
la riga di mezzo è linearmente dipendente dalla somma delle altre due.
e quindi
$\{(x-1-z=1),(y=1-z):}$
cioè
$\{(x=z),(y=1-z):}$
se ho fatto bene, mi è venuta la terna (z,1-z,1)
se ho fatto male, spero di poter correggere il prima possibile...
(grazie per la pazienza prime_number
)
Hai fatto bene eccetto l'ultimissimo passaggio: la terna è $(z,1-z,z)$ con $z$ parametro libero.
Paola
Paola
ok, si me ne sono accorto tempo dopo che ho postato. Grazie mille!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo