Piccola dimostrazione

[Sk_Anonymous]

sia $XsubeRR, f: X -> RR$ dimostrare che
$lim_(x->x_0)f(x)=linRR rArr f(x)$ è definitivamente limitata per $x->x_0
immagino sia argomentazione valida affermare che:
preso un intorno $U=(x_0-epsilon,x_0+epsilon)$ di $x_0, epsilon > 0
risulta $l in f(U)subeRR$ è sottoinsieme limitato di $RR, AA x in U nn X \\{x_0}
voi che ne dite?

[Luca.Lussardi]

Meglio dire così: sia $\epsilon>0$; allora esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale per cui $f(U \cap X \\ x_0) \subseteq (l-epsilon,l+epsilon)$. E dunque $f(U \cap X \\ x_0)$ è limitato.

[Fioravante Patrone1]

@micheletv

in ciò che dice Luca è scritto tra le righe (davvero, in quanto non scritto...) che:

non c'è nessuna garanzia che $l \in f(U)$, come invece scrivi tu
d'altronde, non serve per trarre le conseguenze che ti interessano ("definitivamente limitata")

ciao

[Sk_Anonymous]

@luca
benissimo, ti sembrerà una scemenza ma ho capito tante cose

@fioravante
ho scritto una stupidaggine
$l !in f(UnnX\\{x_0}) ^^ lim_(x->x_0)f(x)=l