Piano tangente una superficie quadrica
Si classifichi la superficie di equazione: $ ()^(<2>)+(<5y>)^(<2>)+()^(<2>)-(<2xy>)+()-2=0 $ , e si detrmini se il piano: y=0 sia tangente ad essa giustificando la risposta.
Dai mie calcoli si tratta di una quadrica generale, in particolare di un ellisoide reale.
Come determino se il piano è tangente alla quadrica?
Grazie
Dai mie calcoli si tratta di una quadrica generale, in particolare di un ellisoide reale.
Come determino se il piano è tangente alla quadrica?
Grazie
Risposte
Si calcola il gradiente di $f(x)$
$\nabla f(x) = (2x-2y, 10y-2x+z, 2z+y) $
che calcolato in $y=0$
$\nabla f(x)|_{y=0} = (2x, -2x+z, 2z) $
Ora se ci fosse uno o più punti in cui la superficie è tangente a $y=0$, il gradiente dovrebbe essere parallelo a $(0,1,0)$ ma si vede subito che ciò è impossibile, perchè $(2x, -2x+z, 2z)=(0,1,0)$, quindi $x=z=0$ di sicuro e anche $-2x+z=0$, quindi non c'è nessun punto di tangenza.
$\nabla f(x) = (2x-2y, 10y-2x+z, 2z+y) $
che calcolato in $y=0$
$\nabla f(x)|_{y=0} = (2x, -2x+z, 2z) $
Ora se ci fosse uno o più punti in cui la superficie è tangente a $y=0$, il gradiente dovrebbe essere parallelo a $(0,1,0)$ ma si vede subito che ciò è impossibile, perchè $(2x, -2x+z, 2z)=(0,1,0)$, quindi $x=z=0$ di sicuro e anche $-2x+z=0$, quindi non c'è nessun punto di tangenza.
Ciao,
ho trovato questa definizione:
I piani tangenti ad una quadrica non degenere F sono tutti e soli quelli che tagliano la F secondo una conica spezzata in due rette, necessariamente distinte.
Secondo questa definizione mi basta intersecare la quadrica con il piano, in base al tipo di conica che ne scaturisce capisco se è tangente oppure no.
La definizione l'ho trovata qui:
http://www.scuoleinrete.net/ScuoleInRet ... enDocument
Qualcuno sa dirmi se è corretta?
Per quello che riguarda le quadriche specializzate (Cono, Cilindro), il piano è tangente solo quando contiene il vertice.
Quest'ultima definizione è nelle slide del Prof.
ho trovato questa definizione:
I piani tangenti ad una quadrica non degenere F sono tutti e soli quelli che tagliano la F secondo una conica spezzata in due rette, necessariamente distinte.
Secondo questa definizione mi basta intersecare la quadrica con il piano, in base al tipo di conica che ne scaturisce capisco se è tangente oppure no.
La definizione l'ho trovata qui:
http://www.scuoleinrete.net/ScuoleInRet ... enDocument
Qualcuno sa dirmi se è corretta?
Per quello che riguarda le quadriche specializzate (Cono, Cilindro), il piano è tangente solo quando contiene il vertice.
Quest'ultima definizione è nelle slide del Prof.
"Flaskin":
Ciao,
ho trovato questa definizione:
I piani tangenti ad una quadrica non degenere F sono tutti e soli quelli che tagliano la F secondo una conica spezzata in due rette, necessariamente distinte.
Secondo questa definizione mi basta intersecare la quadrica con il piano, in base al tipo di conica che ne scaturisce capisco se è tangente oppure no.
La definizione l'ho trovata qui:
http://www.scuoleinrete.net/ScuoleInRet ... enDocument
Qualcuno sa dirmi se è corretta?
No, solo se la quadrica è una cosiddetta superficie rigata, cioe' l'iperboloide iperbolico, il cono.
Per quello che riguarda le quadriche specializzate (Cono, Cilindro), il piano è tangente solo quando contiene il vertice.
Quest'ultima definizione è nelle slide del Prof.
Si, ok. Per il cono. Per il cilindro, quale sarebbe il suo vertice ?
Il vertice V del cilindro è un punto improprio e le sue coordinate (x1 , x2 , x3 , 0) sono la soluzione del sistema lineare
$ ( ( a11 , a12 , a13 , a14 ),( a21 , a22 , a23 , a24 ),( a31 , a32 , a33 , a34 ),( a41 , a42 , a43 , a44 ) )( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( 0 ) ) $
Conosci un altro modo, oltre al gradiente?
Grazie
$ ( ( a11 , a12 , a13 , a14 ),( a21 , a22 , a23 , a24 ),( a31 , a32 , a33 , a34 ),( a41 , a42 , a43 , a44 ) )( ( x1 ),( x2 ),( x3 ),( 0 ) ) $
No, solo se la quadrica è una cosiddetta superficie rigata, cioe' l'iperboloide iperbolico, il cono.
Conosci un altro modo, oltre al gradiente?
Grazie
"Flaskin":
Conosci un altro modo, oltre al gradiente?
Grazie
Onestamente non mi viene in mente nient'altro
Ho chiesto al Prof., che mi ha risposto: quando la quadrica e' tangente al piano, la loro intersezione genera una conica ridotta in due rette, reali e distinte, oppure reali coincidenti, oppure complesse coniugate.
Magari può servire a qualcuno.
Saluti e grazie
Magari può servire a qualcuno.
Saluti e grazie
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