Piano proettivo e mappa quoziente

volalontano1
ciao a tutti!
volevo proporvi questo quesito che ho trovato su un compito di topologia.


In R2 \ {(0, 0)} si consideri il sottospazio:
S = ∪a,b∈R\{0} {(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}|ax + by = 0}
Tale sottospazio consiste di tutte le rette ax + by = 0 con a, b = 0 private
dell’origine. Sia S' = p(S) con p : R2 \ {(0, 0)}−→P1 (R) la proiezione
canonica.
a) S ′ e’ aperto?
b) S ′ e’ chiuso?
c) Si calcoli il suo interno e la sua chiusura.
Si motivi accuratamente la risposta.

sapete darmi una mano.
il mio ragionamento è stato questo:
S' è l'insieme delle rette passanti per l'origine esclusi gli assi, infatti i punti di P1 sono rette passanti per l'origine, origine esclusa e quindi l'immagine di S tramite p corrisponde alle stesse rette, identificate con coordinate omogenee.
Ora per vedere se se S' e aperto, essendo p mappa quoziente, dovrò vedere se la preimmagine d S' e aperta.
Cercando tra i vecchi esercizi ho trovato che la preimmagine di U_0={[x] ∈ P1(R) tc x0 e diverso da 0} e aperta, perchè complementare di un chiuso. (ma nn mi e stato molto chiaro il modo con cui e stato spiegato)
pero a quetso punto, S'= interezione tra U0 e U1. che sono due aperti e allora S' è aperto.
a questo punto mi verrebbe da dire che nn è chiuso, perchè complementare di un chiuso. (impossibile).
(anche se a questo punto nn ne sono cosi sicura, daltronde U0 e U1 sono i complementari di un chiuso, la loro interzeione nn so piu se lo...)
insomma qui mi blocco e non so piu se sto seguendo la strada giuusta....

qualcuno sa darmi una mano??
spero di essere stata chiara...
grazie in anticipo

Risposte
cirasa
Ciao volalontano, benvenut* nel forum.
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