Piano proettivo e mappa quoziente
ciao a tutti!
volevo proporvi questo quesito che ho trovato su un compito di topologia.
In R2 \ {(0, 0)} si consideri il sottospazio:
S = ∪a,b∈R\{0} {(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}|ax + by = 0}
Tale sottospazio consiste di tutte le rette ax + by = 0 con a, b = 0 private
dell’origine. Sia S' = p(S) con p : R2 \ {(0, 0)}−→P1 (R) la proiezione
canonica.
a) S ′ e’ aperto?
b) S ′ e’ chiuso?
c) Si calcoli il suo interno e la sua chiusura.
Si motivi accuratamente la risposta.
sapete darmi una mano.
il mio ragionamento è stato questo:
S' è l'insieme delle rette passanti per l'origine esclusi gli assi, infatti i punti di P1 sono rette passanti per l'origine, origine esclusa e quindi l'immagine di S tramite p corrisponde alle stesse rette, identificate con coordinate omogenee.
Ora per vedere se se S' e aperto, essendo p mappa quoziente, dovrò vedere se la preimmagine d S' e aperta.
Cercando tra i vecchi esercizi ho trovato che la preimmagine di U_0={[x] ∈ P1(R) tc x0 e diverso da 0} e aperta, perchè complementare di un chiuso. (ma nn mi e stato molto chiaro il modo con cui e stato spiegato)
pero a quetso punto, S'= interezione tra U0 e U1. che sono due aperti e allora S' è aperto.
a questo punto mi verrebbe da dire che nn è chiuso, perchè complementare di un chiuso. (impossibile).
(anche se a questo punto nn ne sono cosi sicura, daltronde U0 e U1 sono i complementari di un chiuso, la loro interzeione nn so piu se lo...)
insomma qui mi blocco e non so piu se sto seguendo la strada giuusta....
qualcuno sa darmi una mano??
spero di essere stata chiara...
grazie in anticipo
volevo proporvi questo quesito che ho trovato su un compito di topologia.
In R2 \ {(0, 0)} si consideri il sottospazio:
S = ∪a,b∈R\{0} {(x, y) ∈ R2 \ {(0, 0)}|ax + by = 0}
Tale sottospazio consiste di tutte le rette ax + by = 0 con a, b = 0 private
dell’origine. Sia S' = p(S) con p : R2 \ {(0, 0)}−→P1 (R) la proiezione
canonica.
a) S ′ e’ aperto?
b) S ′ e’ chiuso?
c) Si calcoli il suo interno e la sua chiusura.
Si motivi accuratamente la risposta.
sapete darmi una mano.
il mio ragionamento è stato questo:
S' è l'insieme delle rette passanti per l'origine esclusi gli assi, infatti i punti di P1 sono rette passanti per l'origine, origine esclusa e quindi l'immagine di S tramite p corrisponde alle stesse rette, identificate con coordinate omogenee.
Ora per vedere se se S' e aperto, essendo p mappa quoziente, dovrò vedere se la preimmagine d S' e aperta.
Cercando tra i vecchi esercizi ho trovato che la preimmagine di U_0={[x] ∈ P1(R) tc x0 e diverso da 0} e aperta, perchè complementare di un chiuso. (ma nn mi e stato molto chiaro il modo con cui e stato spiegato)
pero a quetso punto, S'= interezione tra U0 e U1. che sono due aperti e allora S' è aperto.
a questo punto mi verrebbe da dire che nn è chiuso, perchè complementare di un chiuso. (impossibile).
(anche se a questo punto nn ne sono cosi sicura, daltronde U0 e U1 sono i complementari di un chiuso, la loro interzeione nn so piu se lo...)
insomma qui mi blocco e non so piu se sto seguendo la strada giuusta....
qualcuno sa darmi una mano??
spero di essere stata chiara...
grazie in anticipo
Risposte
Ciao volalontano, benvenut* nel forum.
Per cortesia, come da regolamento del forum, ti chiedo di riscrivere il tuo post, usando correttamente le formule (vedi link).
Clicca su "Modifica" in alto a destra e sistema il messaggio.
Non è un capriccio dei moderatori, ma permette di leggere il tuo messaggio in maniera più chiara e avrai più speranze che qualcuno ti risponda.
Successivamente, se ne sarò capace, proverò a darti una mano.
Buona permanenza e buona domenica!
Per cortesia, come da regolamento del forum, ti chiedo di riscrivere il tuo post, usando correttamente le formule (vedi link).
Clicca su "Modifica" in alto a destra e sistema il messaggio.
Non è un capriccio dei moderatori, ma permette di leggere il tuo messaggio in maniera più chiara e avrai più speranze che qualcuno ti risponda.
Successivamente, se ne sarò capace, proverò a darti una mano.
Buona permanenza e buona domenica!
