Piano perpendicolare alla retta passante per due punti
Ho un esercizio carino da proporre
determinare le rette incidenti l'asse z e la retta r: $y-2x=o, z-1$ rispettivamente nei punti A e B, perpendicolari alla retta s: $x-y-1=0, z+3=0$tali che distanza di A,B è uguale a 1
una delle due rette è proprio l'asse z infatti passa dai punti A=(0,0,0) e B=(0,0,1).
il problema è trovare l'altra retta
Vi spiego cosa ho fatto:
essendo incidente r e l'asse z uno dei due piani deve contenere entrambe le rette, il piano è -2x+y=0
per l'altro piano trovo molta difficoltà; esso deve essere perpendicolare s e passante per A'=(0,0,1/3) e B'=(1/3,2/3,1)
ho preso il generico piano $ax+by+cz+d=0$ ho imposto che la sua normale avesse le stesse componenti della direttrice di s, ma quando vado per cercare d non ho lo stesso risultato per A' e B'...penso che il piano non sia verificato ma non capisco dove sbaglio
In buona sostanza non trovo il piano perpendicolare a s passante per A' e B'
determinare le rette incidenti l'asse z e la retta r: $y-2x=o, z-1$ rispettivamente nei punti A e B, perpendicolari alla retta s: $x-y-1=0, z+3=0$tali che distanza di A,B è uguale a 1
una delle due rette è proprio l'asse z infatti passa dai punti A=(0,0,0) e B=(0,0,1).
il problema è trovare l'altra retta
Vi spiego cosa ho fatto:
essendo incidente r e l'asse z uno dei due piani deve contenere entrambe le rette, il piano è -2x+y=0
per l'altro piano trovo molta difficoltà; esso deve essere perpendicolare s e passante per A'=(0,0,1/3) e B'=(1/3,2/3,1)
ho preso il generico piano $ax+by+cz+d=0$ ho imposto che la sua normale avesse le stesse componenti della direttrice di s, ma quando vado per cercare d non ho lo stesso risultato per A' e B'...penso che il piano non sia verificato ma non capisco dove sbaglio
In buona sostanza non trovo il piano perpendicolare a s passante per A' e B'
Risposte
scusa come hai trovato $A'$ e $B'$? Secondo me un piano come te cercato non è detto che esista sempre...
unando le parametriche delle due rette
trovo $A=(0,0,t)$ e $B=(t,2t,1)$
impongo la distanza 1 tra questi due punti e risolvo l'equazione di secondo grado in t, per t=0 e t=1/3
quindi A=(0,0,0) e B=(0,0,1)
la seconda coppia A'=(0,0,1/3) B'=(1/3,2/3,1)
trovo $A=(0,0,t)$ e $B=(t,2t,1)$
impongo la distanza 1 tra questi due punti e risolvo l'equazione di secondo grado in t, per t=0 e t=1/3
quindi A=(0,0,0) e B=(0,0,1)
la seconda coppia A'=(0,0,1/3) B'=(1/3,2/3,1)
il piano $-2x+y=0$ l'ho trovato imponendo la perpendicolarità ad entrambe le direttrici sia di z che di r
... sai che il effetti questo piano non mi convince...
trovo c=o, a=-2b, b=b; per[tex] \Rightarrow <-2x+y+d=0>[/tex]
... sai che il effetti questo piano non mi convince...
trovo c=o, a=-2b, b=b; per[tex]
io farei diversamente. Non capisco perchè esprimere tutto in funzione $t$. Trovi $A(0,0,t)$ e $B(k,2k,1)$ e considera la retta $[AB]$ a questo punto imponi le condizioni di perpendicolarità e distanza ed ottieni i valori di $t$ e $k$
non capisco come lavorare con due parametri
cioè trovi il vettore differenza di $[A,B]$ imponi che il suo modulo sia uno e trovi un parametro in funzione dell'altro e dopo con la seconda condizione risolvi e metti le componenti nell'equazione parametrica della retta?
cioè trovi il vettore differenza di $[A,B]$ imponi che il suo modulo sia uno e trovi un parametro in funzione dell'altro e dopo con la seconda condizione risolvi e metti le componenti nell'equazione parametrica della retta?
Ragiona analiticamente. Lo faccio, ma sono molto stanco ti invito a ricontrollare i calcoli e il ragionamento.
Abbiamo i nostri due punti, uno sull'asse $z$ e uno sulla retta $r$, la retta cercata è la retta congiungente questi due punti, cioè la retta $[AB]:$$x/k=y/(2k)=(z-t)/(1-t)$
Imponendo la perpendicolarità con l'altra retta otteniamo la condizione $k=0$. Applicando la condizione di distanza tra i due punti otteniamo due valori di $t$ ovvero $t=0$ e $t=-2$
E l'esercizio è risolto!
Abbiamo i nostri due punti, uno sull'asse $z$ e uno sulla retta $r$, la retta cercata è la retta congiungente questi due punti, cioè la retta $[AB]:$$x/k=y/(2k)=(z-t)/(1-t)$
Imponendo la perpendicolarità con l'altra retta otteniamo la condizione $k=0$. Applicando la condizione di distanza tra i due punti otteniamo due valori di $t$ ovvero $t=0$ e $t=-2$
E l'esercizio è risolto!
wow! l'esercizio si riduce a pokissimi calcoli,
un piano dovrebbe essere $x=0,y=0,z=t$ che è l'asse z, l'altro $x=0,y=0,z=2-t$, non mi è chiaro, i due piani sembrano paralleli traloro
ma non stavi cercando delle rette?
basta sostituire i valori di $t$ e $k$ determinati ed otterrai le rette che cercavi
basta sostituire i valori di $t$ e $k$ determinati ed otterrai le rette che cercavi
intendevo dire le rette scusami...
si penso che comunque il gioco è fatto! grazie mille
si penso che comunque il gioco è fatto! grazie mille
Scusate se riprendo questo vecchio topic.
@Mistake.
Non capisco come tu abbia fatto a trovarti $k=0$
Inoltre avendo trovato:
$k=0$
$t_1=0$
$t_2=2$
mettendola in $x/k=y/2k=(z-t)/(1-t)$
vengono:
$2x-y=0$
$x=0$
$y=0$
ovvero l'asse $z$ unito a $2x-y$
quali osservazioni si possono fare?
(ammettendo che come abbia risolto è fatto bene)
@Mistake.
Non capisco come tu abbia fatto a trovarti $k=0$
Inoltre avendo trovato:
$k=0$
$t_1=0$
$t_2=2$
mettendola in $x/k=y/2k=(z-t)/(1-t)$
vengono:
$2x-y=0$
$x=0$
$y=0$
ovvero l'asse $z$ unito a $2x-y$
quali osservazioni si possono fare?
(ammettendo che come abbia risolto è fatto bene)
dalla nostra retta imponendo la condizione di perpendicolarità cioè $l$$l'+m$$m'+n$$n'=0$
ottieni che $k*1+2k*1+0*(t-1)=0$ cioè $k=0$
ottieni che $k*1+2k*1+0*(t-1)=0$ cioè $k=0$
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