Piano per un punto e per una retta
Ciao ragazzi. Mi servirebbe aiuto per questo priblema di geometria. Il testo è il seguente:
Dato il punto A (0,0,1), il punto B (1,2,0) e la retta r di equazioni: $ x - y + z -2 =0 $ , $ 3x - 2y -5 = 0 $
scrivere l'equazione del piano p per B e per la retta A che incide ortogonalmente la retta r.
Allora io ho trovato la retta per A ma non riesco a trovare l'equazione del piano. Vi ringrazio in anticipo.
Dato il punto A (0,0,1), il punto B (1,2,0) e la retta r di equazioni: $ x - y + z -2 =0 $ , $ 3x - 2y -5 = 0 $
scrivere l'equazione del piano p per B e per la retta A che incide ortogonalmente la retta r.
Allora io ho trovato la retta per A ma non riesco a trovare l'equazione del piano. Vi ringrazio in anticipo.
Risposte
Io non ho capito la traccia per come è scritta. Puoi essere più chiaro e riportarla esattamente?
La traccia è questa.
Nello spazio S3, riferito a un sistema cartesiano ortonormale, sono dati:
-il punto A(0,0,1)
-il punto B(1,2,0)
-la retta r di equazioni x-y+z-2=0, 3x-2y-5=0;
scrivere l'equazione del piano pi greco per B e per la retta per A che incide ortogonalmente la retta r.
Nello spazio S3, riferito a un sistema cartesiano ortonormale, sono dati:
-il punto A(0,0,1)
-il punto B(1,2,0)
-la retta r di equazioni x-y+z-2=0, 3x-2y-5=0;
scrivere l'equazione del piano pi greco per B e per la retta per A che incide ortogonalmente la retta r.
c'era un PER A che faceva la differenza.
Se hai trovato la retta per $A$ ortogonale ad $r$ allora basterà costruire il fascio di piani di asse questa retta ed imporre il passaggio per $B$
Se hai trovato la retta per $A$ ortogonale ad $r$ allora basterà costruire il fascio di piani di asse questa retta ed imporre il passaggio per $B$
Io ho tentato di risolverlo, ma non sono sicuro.
Ho trovato il vettore direttore di $r$
così:
${(x-y+z=0),(3x-2y=0)}$
$((1,-1,1),(3,-2,0))$
$V_r(-2,+3,1)$
poi per l'ortogonalità dovrebbe essere verificato questo:
$(-2,+3,1)(l,m,n)=0$
ovvero:
$-2l+3m+n=0$
non so se si può fare, trovare $l,m,n$ affinchè dia $0$
per esempio andrebbe $1,1,-1$?
poi faccio la retta parametrica per $A$
${x=alpha; y=alpha; z=1-alpha}
diventa senza parametro cosi:
${x-y=0; z+y-1=0}$
poi:
$a(x-y)+b(z+y-1)=0$
passaggio per $B$
viene $a=b$
alla fine il piano sarebbe:
$x+z-1=0$
che passa per $B$
ma unico dubbio: è il passaggio per trovare il vettore direttore per la retta di $A$
cosa ne pensate?
Ho trovato il vettore direttore di $r$
così:
${(x-y+z=0),(3x-2y=0)}$
$((1,-1,1),(3,-2,0))$
$V_r(-2,+3,1)$
poi per l'ortogonalità dovrebbe essere verificato questo:
$(-2,+3,1)(l,m,n)=0$
ovvero:
$-2l+3m+n=0$
non so se si può fare, trovare $l,m,n$ affinchè dia $0$
per esempio andrebbe $1,1,-1$?
poi faccio la retta parametrica per $A$
${x=alpha; y=alpha; z=1-alpha}
diventa senza parametro cosi:
${x-y=0; z+y-1=0}$
poi:
$a(x-y)+b(z+y-1)=0$
passaggio per $B$
viene $a=b$
alla fine il piano sarebbe:
$x+z-1=0$
che passa per $B$
ma unico dubbio: è il passaggio per trovare il vettore direttore per la retta di $A$
cosa ne pensate?
Matfranz
mi scrivi come hai trovato i parametri direttori dellaretta?
Grazie!
mi scrivi come hai trovato i parametri direttori dellaretta?
Grazie!
Della retta r o della retta che passa per A?
di r
Allora per determinare un punto che passa per la retta , si da a una delle incognite equazioni della retta un valore qualsiasi; le altre coordinate si ottengono risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite che ne risulta. Come vettore direttore della retta invece si sceglie il vettore ortogonale a entrambi i vettori normali ai due piani che si intersecano.
Perciò il vettore direttore della retta non è altro che il vettore che ne risulta facendo il prodotto vettoriale in coordinate dei vettori normali dei due piani.
Nel caso della retta r devi perciò fare (1,-1,1) x (3,-2,0).
Spero di essere stato chiaro. Se hai ancora dubbi puoi chiedere.
Perciò il vettore direttore della retta non è altro che il vettore che ne risulta facendo il prodotto vettoriale in coordinate dei vettori normali dei due piani.
Nel caso della retta r devi perciò fare (1,-1,1) x (3,-2,0).
Spero di essere stato chiaro. Se hai ancora dubbi puoi chiedere.
mmmm io questo procedimento non l'ho mai visto è per questo che ti ho chiesto di scrivermi come li calcoli, a me escono diversi.
r ti è stata data come intersezione di piani quindi è rappresentabile anche come:
$( ( 1 , -1 , 1 ),( 3 , -2 , 0 ) )$
Adesso per calcolarti $(l,m,n)$ devi farti il determinante di ogni minore cioè:
$l=| ( -1, 1 ),( -2 , 0 ) |$
$m=-| ( -1 , 1 ),(-2 , 0 ) |$
$ n=| ( 1 , -1 ),( 3 , -2 ) |$
quindi $Vr(2,-2,1)$
Ma il testo è proprio come l'hai scritto te? perchè è un po confusionario
r ti è stata data come intersezione di piani quindi è rappresentabile anche come:
$( ( 1 , -1 , 1 ),( 3 , -2 , 0 ) )$
Adesso per calcolarti $(l,m,n)$ devi farti il determinante di ogni minore cioè:
$l=| ( -1, 1 ),( -2 , 0 ) |$
$m=-| ( -1 , 1 ),(-2 , 0 ) |$
$ n=| ( 1 , -1 ),( 3 , -2 ) |$
quindi $Vr(2,-2,1)$
Ma il testo è proprio come l'hai scritto te? perchè è un po confusionario
"m4551":
mmmm io questo procedimento non l'ho mai visto è per questo che ti ho chiesto di scrivermi come li calcoli, a me escono diversi.
r ti è stata data come intersezione di piani quindi è rappresentabile anche come:
$( ( 1 , -1 , 1 ),( 3 , -2 , 0 ) )$
Adesso per calcolarti $(l,m,n)$ devi farti il determinante di ogni minore cioè:
$l=| ( -1, 1 ),( -2 , 0 ) |$
$m=-| ( -1 , 1 ),(-2 , 0 ) |$
$ n=| ( 1 , -1 ),( 3 , -2 ) |$
quindi $Vr(2,-2,1)$
Ma il testo è proprio come l'hai scritto te? perchè è un po confusionario
Non mi trovo con te nella risoluzione di $m$
poi forse ho sbagliato io...
su m c'è un meno prima del determinante! 
M quello che stai facendo te non è altro che il prodotto vettoriale in coordinate, il tuo ragionamento è giusto.
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