Piano per tre punti non allineati
Salve a tutti, non riesco a capire bene come devo risolvere questo esercizio riguardo il piano passante per tre punti.
Siano dati i punti
$A (0,1,0)$
$B (1,-3,0)$
$C (1,1,1)$
Determinare un piano mediante uno qualsiasi dei tre punti e con il vettore $\vec n$ $ = AB$ $^^$ $AC$ ortogonale al piano
Io sono in grado di trovare l'equazione del piano calcolando il determinante della matrice composta dalle differenze tra i punti, ma non credo che sia il metodo risolutivo richiesto in questo esercizio.
So solo che prendendo ad esempio il punto A, so che il piano avrà equazione $ l(x-xa) + m(y-yb) + n(z-za)$ ma come si trovano le componenti del vettore $\vec n$?
grazie in anticipo
Siano dati i punti
$A (0,1,0)$
$B (1,-3,0)$
$C (1,1,1)$
Determinare un piano mediante uno qualsiasi dei tre punti e con il vettore $\vec n$ $ = AB$ $^^$ $AC$ ortogonale al piano
Io sono in grado di trovare l'equazione del piano calcolando il determinante della matrice composta dalle differenze tra i punti, ma non credo che sia il metodo risolutivo richiesto in questo esercizio.
So solo che prendendo ad esempio il punto A, so che il piano avrà equazione $ l(x-xa) + m(y-yb) + n(z-za)$ ma come si trovano le componenti del vettore $\vec n$?
grazie in anticipo
Risposte
Beh, [tex]$\vec{n}$[/tex] è un prodotto vettoriale e quindi le sue componenti sono i minori con segno della matrice [tex]$2\times 3$[/tex] che ha per righe le componenti dei vettori [tex]$AB,\ AC$[/tex].
Ad ogni modo, questo modo di procedere ed il tuo sono del tutto equivalenti: infatti alla fine dei conti [tex]$l(x-x_a)+m(y-y_a)+n(z-z_a)$[/tex] è il determinante della matrice [tex]$3\times 3$[/tex] che si ottiene aggiungendo alla matrice [tex]$2\times 3$[/tex] detta in precedenza la riga [tex]$(x-x_a,y-y_a,z-z_a)$[/tex].
Ad ogni modo, questo modo di procedere ed il tuo sono del tutto equivalenti: infatti alla fine dei conti [tex]$l(x-x_a)+m(y-y_a)+n(z-z_a)$[/tex] è il determinante della matrice [tex]$3\times 3$[/tex] che si ottiene aggiungendo alla matrice [tex]$2\times 3$[/tex] detta in precedenza la riga [tex]$(x-x_a,y-y_a,z-z_a)$[/tex].
ho capito, grazie. scusa la domanda stupida ma quando vado a prendere i minori, come faccio a sapere quale viene prima e quale dopo? forse ho detto un'eresia, sarà l'ora.
Beh, [tex]$l$[/tex] è il minore con segno che ottieni sopprimendo la prima colonna, [tex]$m$[/tex] quello che ottieni sopprimendo la seconda ed [tex]$n$[/tex] quello che trovi sopprimendo la terza.
In formule, se la tua matrice è:
[tex]$\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$[/tex]
i tre minori sono:
[tex]$l=\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} ,\ m=-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} ,\ n=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}$[/tex].
In formule, se la tua matrice è:
[tex]$\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}$[/tex]
i tre minori sono:
[tex]$l=\begin{vmatrix} u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3 \end{vmatrix} ,\ m=-\begin{vmatrix} u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3 \end{vmatrix} ,\ n=\begin{vmatrix} u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2 \end{vmatrix}$[/tex].
chiarissimo 
in aula l'avevamo svolto in modo simile ma gli appunti erano davvero caotici e indecifrabili
grazie mille.
in aula l'avevamo svolto in modo simile ma gli appunti erano davvero caotici e indecifrabili
grazie mille.
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