Piano passante per una data retta e un punto

[21ire]

Ciao a tutti, svolgendo alcuni esercizi di geometria ne ho trovato uno che in realtà non credo sia neppure troppo difficile... ve lo posto:
scrivi l'equazione del piano $a$ passante per una retta r $ { ( x=1+2t ),( y=-1-2t ),( t ):} $ e per il punto P $ (1;1;-2)^T $

Dunque io per svolgere l'esercizio mi sono trasformata la retta dalla forma parametrica a quella cartesiana, ho creato il fascio di piani e imposto il passaggio per il punto P, così da trovare il parametro k che avevo usato nel fascio e da ricavarne l'equazione del piano che mi risulta $ a: x+2y+2z+1=0 $

Volevo sapere se come metodo era corretto e soprattutto se ci sono altri modi di svolgere l'esercizio, magari senza trasformare la retta in forma cartesiana.

Grazie a tutti anticipatamente

Irene

[giovirota]

Un metodo semplice e veloce è scrivere l' equazione del piano passante per tre punti: il punto P e altri due punti della retta.
L' equazione parametrica della retta, per t=0 e t=1, fornisce i punti (1,-1,0) e (3,-3,1).
Denominiamo i tre punti:
(1,-1,0) = (x1,y1,z1)
(3,-3,1) = (x2,y2,z2)
(1,1,-2) = (x3,y3,z3)
L' equazione del piano si ricava dal determinante:
$|(x-x1,y-y1,z-z1),(x2-x1,y2-y1,z2-z1),(x3-x1,y3-y1,z3-z1)|$ =
= $|(x-1,y-1,z),(2,-2,1),(0,2,-2)|$ =
= x + 2y + 2z + 1 = 0

[21ire]

chiarissimo! grazie mille