Piano passante per 3 punti noti

[indovina]

Ho da risolvere questo esercizio, a piu richieste:

1) Dati questi punti:

$A=(0,1,2)$ , $B=(1,0,-1)$ , $C=(2,1,0)$

Rappresentare in forma cartesiana non parametrica il piano TT, contenente i punti assegnati:

Metto a sistema 3 equazioni del tipo: $n_x(x-x_o)+n_y(y-y_o)+n_z(z-z_o)=0$ con $x_o,y_o,y_o$ i punti A, B, C

alla fine mi viene questa equazione del piano: $x+2y+z-4=0$

2)Vedere che $D=(1,0,1)$ non appartiene al piano TT

Ho messo il punto $D$ nell'equazione del piano, e viene:

$1+0+1-4=/0$ quindi mi trovo.

3) Rappresentare il piano TT' passante per D e parallelo a TT
$n_x(x-x_o)+n_y(y-y_o)+n_z(z-z_o)=0$ e ci ho fatto passare $D$

viene: $n_xx+n_yy+n_zz-n_x-n_z=0$

ora, ricordando la definizione di piani paralleli:
TT' // TT cioè $(a,b,c)=t(a',b',c')$

io a $t$ posso mettere qualunque valore? Se si posso porre che $t=2$ e $-n_x-n_z=-4$

quest'ultima parte è un po in dubbio.
Il resto va bene? Aspetto vostri consigli.
Grazie

[adaBTTLS1]

il piano che tu hai trovato non passa per $B$. rivedi i conti. ciao.

[indovina]

Posto qui i miei calcoli.

Passaggio per $A=(0,1,2)$:

$n_xx+n_y(y-1)+n_z(z-2)=0$
$n_yy+n_zz+n_x-n_y-2n_z=0$

Passaggio per $B=(1,0,1)$
$n_x(x-1)+n_y(y-0)+n_z(z-1)=0$
$n_xx+n_yy+n_zz-n_x-n_z=0$

Passaggio per $C=(2,1,0)$
$n_x(x-2)+n_y(y-1)+n_z(z-0)=0$
$n_xx+n_yy+n_zz-2n_x-n_y=0$

Ora faccio l'intersezione la prima con la terza
la seconda con la terza
e la prima con la seconda.

Alla fine dai calcoli mi viene un piano che contiene $B$ e $C$ ma non $A$!
Non so dove sia l'errore...

[franced]

"clever":
1) Dati questi punti:

$A=(0,1,2)$ , $B=(1,0,-1)$ , $C=(2,1,0)$

Rappresentare in forma cartesiana non parametrica il piano TT, contenente i punti assegnati:

Ci sono tanti metodi, uno diretto è il seguente:


[tex]\det \left( \begin{array}{ccc}
x - 0 & y - 1 & z - 2 \\[1mm]
1 - 0 & 0 - 1 & -1 - 2 \\[1mm]
2 - 0 & 1 - 1 & 0 - 2
\end{array} \right) = 0[/tex]

svolgendo trovi

[tex]2\,x - 4\,y + 2\,z = 0[/tex]

da cui ricavi

[tex]x - 2\,y + z = 0[/tex] .

[franced]

"clever":
1) Dati questi punti:

$A=(0,1,2)$ , $B=(1,0,-1)$ , $C=(2,1,0)$

Rappresentare in forma cartesiana non parametrica il piano TT, contenente i punti assegnati:

Altro metodo:

scrivi l'equazione del fascio di piani passanti per A e C e imponi successivamente il passaggio da B.

Equazione del fascio di piani passanti per A e C:

[tex]\lambda(x + y + z - 3) + \mu (y - 1) = 0[/tex]

imponendo il passaggio per B si ha:

[tex]\lambda(1 + 0 + (-1) - 3) + \mu (0 - 1) = 0[/tex]

da cui

[tex]-3\,\lambda - \mu = 0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \mu = -3\,\lambda[/tex]

sostituendo nell'equazione del fascio di piani si ottiene

[tex]\lambda(x + y + z - 3) + (-3\,\lambda) (y - 1) = 0[/tex]

ponendo [tex]\lambda = 1[/tex] abbiamo l'equazione cartesiana del piano:

[tex]x + y + z - 3 - 3\, (y - 1) = 0 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; x - 2\,y + z = 0[/tex] .

[indovina]

Oh, mi sa che meglio del sistema, altrimenti non ne vengo più a capo, avrò perso per la strada qualche $n_x$ o simili.
Meglio la matrice che mi hai suggerito tu.
Grazie davvero questi due metodi sono molto veloci.

[indovina]

Scusa se non riesco a farne capo, ma come hai fatto a trovare
''Equazione del fascio di piani passanti per A e C''?
Sarebbe questa equazione:

$lambda(ax+by+cz+d)+mu(a'x+b'y+c'z+d')=0$?

ma dalla tua relazione sembra essere:
$a=1$
$b=1$
$c=1$
$d=-3$

e
$a'=0$
$b'=1$
$c'=0$
$d'=-1$

ora chiedo, come hai fatto a calcolarteli?

[franced]

"clever":
''Equazione del fascio di piani passanti per A e C''?

Ho semplicemente osservato che, essendo [tex]A=(0,1,2)[/tex] e [tex]C=(2,1,0)[/tex],
i due punti in comune [tex]y=1[/tex] e la somma delle loro coordinate è uguale a [tex]3[/tex].
La retta passante per [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex] ammette, quindi, la seguente equazione
cartesiana:

[tex]r_{A,C} : \left\{ \begin{array}{l}
y - 1 = 0 \\[1mm]
x + y + z - 3 = 0

\end{array} \right.[/tex]

il fascio di piani passanti per [tex]A[/tex] e [tex]C[/tex] si ottiene
combinando linearmente le due equazioni.

[indovina]

Osservazione acutissima!
Grazie, tutto chiaro

[franced]

Prego.

Tieni conto che se hai un po' di "occhio" eviti un sacco di calcoli!

[indovina]

Vero, mi sa che questa tipologia di esercizi sono basati piu sul *avere un pò d'occhio* che sui calcoli lunghissimi.
Starò più attento.

[franced]

E' però pur sempre vero che, per avere "occhio", serve esperienza:
quindi devi studiare e fare tanti, ma tanti esercizi.