Piano parallelo ad un fascio
Considerato un fascio di piani F(r) avente per asse la retta:
$ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $
ed il piano $pi$: 3x-5y-z-3=0
determinare un piano appartenente al fascio tale che risulti parallelo a $pi$
io ho ricavato l'equazione del fascio solo che non saprei proprio come impostarlo per continuare... come andrebbe impostato?
$ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $
ed il piano $pi$: 3x-5y-z-3=0
determinare un piano appartenente al fascio tale che risulti parallelo a $pi$
io ho ricavato l'equazione del fascio solo che non saprei proprio come impostarlo per continuare... come andrebbe impostato?
Risposte
Due piani sono paralleli se e solo se hanno direzioni ortogonali parallele, e la direzione ortogonale a $\pi$ è \( \left(\begin{smallmatrix}3\\-5\\-1\end{smallmatrix} \right)\); unisci questo al fatto che un generico piano del fascio è generato dal vettore direttore della retta \( \left(\begin{smallmatrix}1\\1\\-2\end{smallmatrix}\right)\) più un vettore nel piano ortogonale. Fai un po' di conti, e accendi un cero a san Grassmann 
Un altro metodo sarebbe questo... sottolineo quella che per me è il punto della soluzione.
Considera che esiste questa proposizione.
dato $A$ spazio affine di dimensione $n$ in cui sia fissato un riferimento $R(O,B)$
Sia $S$ un sottospazio affine e $P$ un punto di $A$ allora esiste un unico spazio affine $T$ parallelo ad $S$, passante per $P$ e tale che $dimS=dimT$
La condizione che $S$ sia parallelo a $T$ e che abbiano la stessa dimensione ti dice che $W_S=W_T$.
Pertanto tale sottospazio affine è $P+W_s$
Di fatto se esistesse un terzo sottospazio affine $Sigma$ parallelo a $S$ della stessa dimensione di $S$ e che passi per $P$ praticamente otterresti che $Sigma$ e $T$ sarebbero paralleli, della stessa dimensione e con intersezione non nulla, quindi coinciderebbero.
Dunque secondo me per trovare tale piano ti basta trovare un punto di $r$, sia esso $P$ e porre $pi '=P+W_(pi)$
Naturalmente il problema è insolubile se $r$ è incidente con il piano $pi$. Perché se fosse incidente allora tutti i piani del fascio contengono la retta $r$ e per tanto anche il punto di intersezione con il piano $pi$ e quindi sarebbero incidenti.
Quindi supposto che la retta non sia incidente, non può essere che parallela. Ovviamente se tale retta è contenuta nel piano allora l'unico piano parallelo è il piano stesso. Di fatto è ogni sottospazio affine è parallelo a se stesso, dunque sarebbe parallelo a $pi$ e contente la retta, fine.
Se non è nemmeno contenuta nel piano, allora il fascio di piani contiene la retta $r$ dunque contiene almeno un suo punto. Inoltre 'tutti i piani paralleli a $pi$' hanno la stessa giacitura di $pi$.
Quindi $pi' : P+W_(pi)$ è un piano parallelo a $pi$ e contenente la retta $r$. È l'unico? Si per la proposizione precedente.
Considera che esiste questa proposizione.
dato $A$ spazio affine di dimensione $n$ in cui sia fissato un riferimento $R(O,B)$
Sia $S$ un sottospazio affine e $P$ un punto di $A$ allora esiste un unico spazio affine $T$ parallelo ad $S$, passante per $P$ e tale che $dimS=dimT$
La condizione che $S$ sia parallelo a $T$ e che abbiano la stessa dimensione ti dice che $W_S=W_T$.
Pertanto tale sottospazio affine è $P+W_s$
Di fatto se esistesse un terzo sottospazio affine $Sigma$ parallelo a $S$ della stessa dimensione di $S$ e che passi per $P$ praticamente otterresti che $Sigma$ e $T$ sarebbero paralleli, della stessa dimensione e con intersezione non nulla, quindi coinciderebbero.
Dunque secondo me per trovare tale piano ti basta trovare un punto di $r$, sia esso $P$ e porre $pi '=P+W_(pi)$
Naturalmente il problema è insolubile se $r$ è incidente con il piano $pi$. Perché se fosse incidente allora tutti i piani del fascio contengono la retta $r$ e per tanto anche il punto di intersezione con il piano $pi$ e quindi sarebbero incidenti.
Quindi supposto che la retta non sia incidente, non può essere che parallela. Ovviamente se tale retta è contenuta nel piano allora l'unico piano parallelo è il piano stesso. Di fatto è ogni sottospazio affine è parallelo a se stesso, dunque sarebbe parallelo a $pi$ e contente la retta, fine.
Se non è nemmeno contenuta nel piano, allora il fascio di piani contiene la retta $r$ dunque contiene almeno un suo punto. Inoltre 'tutti i piani paralleli a $pi$' hanno la stessa giacitura di $pi$.
Quindi $pi' : P+W_(pi)$ è un piano parallelo a $pi$ e contenente la retta $r$. È l'unico? Si per la proposizione precedente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo