Piano parallelo a una retta

[Sackedo]

Ho un dubbio su questo esercizio: mi viene chiesto di scrivere l'equazione cartesiana di un qualsiasi piano affine parallelo alla retta di equazioni
$\{(5x - 2y - 2z = 1),(5x + 2y - z = 3):}$

Quello che io ho fatto è scrivere l'equazione generica del piano, con due generici parametri $\alpha$ e $\beta$ :

$(5x-2y-2z-1)\alpha + (5x+2y-z-3)\beta=0$

Risolvendolo ottengo un piano del tipo:

$5x(\alpha+\beta)+2y(\beta-\alpha)-z(2\alpha+\beta)=(\alpha+3\beta)$

per il quale non riesco a trovare nessuna combinazione di $\alpha$ e $\beta$ che soddisfino quella che è la soluzione dell'esercizio, ovvero:

$5x+6y=2$

[gugo82]

Il piano di cui nel testo è parallelo alla retta.
Infatti, il suo vettore normale è $mathbb(n)=(5,6,0)$ mentre il vettore direzionale della retta è $mathbb(u)=(5,-2,-2) xx (5,2,-1) = (6,-5,20)$ e si vede "ad occhio" che $mathbb(n) * mathbb(u) = 0$, sicché è soddisfatta la condizione di parallelismo retta/piano.

Che mi dici di $alpha=-1$ e $beta=2$?
Perché dici che non vanno bene?

[Sackedo]

Il dubbio era riguardante il termine noto che con quei valori di alfa e beta mi viene differente da quello della soluzione.

[gugo82]

Ma piani paralleli non sono tenuti ad avere gli stessi termini noti, o sbaglio?

[Bokonon]

"Sackedo":Il dubbio era riguardante il termine noto che con quei valori di alfa e beta mi viene differente da quello della soluzione.

Ma essere originali no eh?
Ci sono infiniti piani paralleli alla retta passanti per infiniti punti...e vuoi proprio quello?
Qualsiasi piano $ax+by+cz=d$ con coefficienti $ =alpha<5,6,0>+beta<10,0,-3>$ per qualsivoglia $alpha$ e $beta$ e che NON passi proprio per il punto $<1,0,2>$ soddisfa le condizioni.