Piano parallelo a un piano dato
Buonasera a tutti, vi volevo chiedere se qualcuno può spiegarmi questo esercizio del pre-test dell'esame di algebra:
Quale delle seguenti equazioni rappresenta un piano affine di $A^3 (RR)$ parallelo al piano affine $((2,1,-1)) + < ((1,0,1)) ,((1,-1,-1)) > sub A^3 (RR) $
Possibili risposte:
a) $x +y -z =1 $
b) $x+2y -z=3 $
c) $x +2y +z=-3 $
d) $2x +y -z=2 $
f) $2x - y -z=-2 $
La risposta giusta è la b, ma non riesco proprio a capire il perchè... sappiamo che due piani affini sono paralleli se le loro giaciture sono uguali o proporzionali, oppure se la giacitura del primo contiene quella del secondo, ma tutto ciò come faccio a capirlo ? più che altro come faccio a risolvere l'esercizio ?
i vettori del piano affine dovrebbero essere colonne, ma non riesco a capire perchè i codice non me li fa... è il mio primo post scusatemi
Quale delle seguenti equazioni rappresenta un piano affine di $A^3 (RR)$ parallelo al piano affine $((2,1,-1)) + < ((1,0,1)) ,((1,-1,-1)) > sub A^3 (RR) $
Possibili risposte:
a) $x +y -z =1 $
b) $x+2y -z=3 $
c) $x +2y +z=-3 $
d) $2x +y -z=2 $
f) $2x - y -z=-2 $
La risposta giusta è la b, ma non riesco proprio a capire il perchè... sappiamo che due piani affini sono paralleli se le loro giaciture sono uguali o proporzionali, oppure se la giacitura del primo contiene quella del secondo, ma tutto ciò come faccio a capirlo ? più che altro come faccio a risolvere l'esercizio ?
i vettori del piano affine dovrebbero essere colonne, ma non riesco a capire perchè i codice non me li fa... è il mio primo post scusatemi
Risposte
Ciao.
Forse ho sbagliato io qualche conto, però qualcosa non mi torna.
Il piano
$ ((2,1,-1)) + < ((1,0,1)) ,((1,-1,1)) >$
scrivibile in forma parametrica come
${(x=2+t+s),(y=1-s),(z=-1+t+s):} Rightarrow {(s=1-y),(x=2+t+1-y),(z=-1+t+1-y):} Rightarrow {(s=1-y),(x=3+t-y Rightarrow x=3+z),(z=t-y):}$
porterebbe, quindi, alla forma cartesiana
$x-z=3$
È noto che, data l'equazione generale del piano in forma cartesiana
$ax+by+cz=d$ (con $(a,b,c)!=(0,0,0)$),
si ha che il vettore $(a,b,c)$ è normale al piano descritto dall'equazione stessa, quindi il piano $x-z=3$ ha, come vettore normale, il vettore $(1,0,-1)$.
In generale, avendo due piani, essi saranno paralleli tra loro quando saranno paralleli i rispettivi vettori normali, ma, nel caso dell'esercizio proposto, i vettori normali ai piani suggeriti nei cinque punti risultano essere:
a) $(1,1,-1)$
b) $(1,2,-1)$
c) $(1,2,1)$
d) $(2,1,-1)$
f) $(2,-1,-1)$
e nessuno di questi vettori risulta essere parallelo al vettore $(1,0,-1)$.
A meno di errori miei (che spero di non aver commesso), non potrebbe esserci qualche errore nel testo dell'esercizio?
Saluti.
Forse ho sbagliato io qualche conto, però qualcosa non mi torna.
Il piano
$ ((2,1,-1)) + < ((1,0,1)) ,((1,-1,1)) >$
scrivibile in forma parametrica come
${(x=2+t+s),(y=1-s),(z=-1+t+s):} Rightarrow {(s=1-y),(x=2+t+1-y),(z=-1+t+1-y):} Rightarrow {(s=1-y),(x=3+t-y Rightarrow x=3+z),(z=t-y):}$
porterebbe, quindi, alla forma cartesiana
$x-z=3$
È noto che, data l'equazione generale del piano in forma cartesiana
$ax+by+cz=d$ (con $(a,b,c)!=(0,0,0)$),
si ha che il vettore $(a,b,c)$ è normale al piano descritto dall'equazione stessa, quindi il piano $x-z=3$ ha, come vettore normale, il vettore $(1,0,-1)$.
In generale, avendo due piani, essi saranno paralleli tra loro quando saranno paralleli i rispettivi vettori normali, ma, nel caso dell'esercizio proposto, i vettori normali ai piani suggeriti nei cinque punti risultano essere:
a) $(1,1,-1)$
b) $(1,2,-1)$
c) $(1,2,1)$
d) $(2,1,-1)$
f) $(2,-1,-1)$
e nessuno di questi vettori risulta essere parallelo al vettore $(1,0,-1)$.
A meno di errori miei (che spero di non aver commesso), non potrebbe esserci qualche errore nel testo dell'esercizio?
Saluti.
Buongiorno, grazie della risposta, è stato un errore mio nel ricopiare dal testo,, il piano affine ha equazione $((2,1,-1)) + < ((1,0,1)) ,((1,-1,-1)) > sub A^3 (RR) $, correggo subito nel testo !
A questo punto il piano viene riscritto nella forma parametrica:
$\{(x = 2+t+s),(y = 1-s),(z=-1+t-s ):}$ $rArr$ $\{(x = 2+t+s),(s = 1-y),(t = z+1+s):}$
$\{(x = 2+t+s),(s = 1-y),(t = z+1+1-y):}$ $rArr$ $\{(x = 2+z+2-y+1-y),(s = 1-y),(t = 2+z-y):}$
Che porta alla forma cartesiana
$x+2y-z=5$
E al vettore: $((1,2,-1))$
Per quanto riguarda la giacitura del vettore mi torna tutto, ma avrei una domanda, il fatto che mi torni :
$x+2y-z=5$ , e non $x+2y-z=3$ può essere dovuto solo un errore di conti giusto ?
La ringrazio ancora per l'aiuto !
A questo punto il piano viene riscritto nella forma parametrica:
$\{(x = 2+t+s),(y = 1-s),(z=-1+t-s ):}$ $rArr$ $\{(x = 2+t+s),(s = 1-y),(t = z+1+s):}$
$\{(x = 2+t+s),(s = 1-y),(t = z+1+1-y):}$ $rArr$ $\{(x = 2+z+2-y+1-y),(s = 1-y),(t = 2+z-y):}$
Che porta alla forma cartesiana
$x+2y-z=5$
E al vettore: $((1,2,-1))$
Per quanto riguarda la giacitura del vettore mi torna tutto, ma avrei una domanda, il fatto che mi torni :
$x+2y-z=5$ , e non $x+2y-z=3$ può essere dovuto solo un errore di conti giusto ?
La ringrazio ancora per l'aiuto !
"franc.u":
Per quanto riguarda la giacitura del vettore mi torna tutto, ma avrei una domanda, il fatto che mi torni :
$x+2y-z=5$ , e non $x+2y-z=3$ può essere dovuto solo un errore di conti giusto ?
Ho ri-effettuato anch'io i conti e ho ottenuto analogo risultato; potrebbe trattarsi di un refuso nel testo.
Saluti.
Grazie Mille !
Un saluto, Francesco
Un saluto, Francesco
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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