Piano invariante

[angus89]

Ho problemi nel dare un senso alla soluzione di questo esercizio

Sia $R^3$ il solito $R$ spazio vettoriale.
sia $f$ l'enomorfismo rappresentato dalla matrice
$((0,0,1),(1,1,-1),(-1,0,-2))$
Trovare un piano invariante

Svolgimento
Calcoliamo il polinomio caratteristico
$P_{f} (x)=(1-x)(1+x)^2$
Quindi per hamilton Cayley
$P_{f} (f)=0$
Per il teorema di decomposizione primaria abbiamo
$R^3=ker(id-f) \oplus ker(id+f)^2$

Quindi troviamo

$id-f=((1,0,-1),(-1,0,1),(1,0,3)) => e_2 \in ker(id-f)$
Dunque $e_2$ è una retta invariante

$(id+f)^2=((1,0,1),(1,2,-1),(-1,0,-1))^2 = ((0,0,0),(4,4,0),(0,0,0)) => e_3,e_1-e_2 \in ker(id+f)^2$

Qundi $W=span(e_3,e_1-e_2)$ dovrebbe esser un piano invariante, ma chiramente non lo è...

[franced]

"angus89":
Sia $R^3$ il solito $R$ spazio vettoriale.
sia $f$ l'enomorfismo rappresentato dalla matrice
$((0,0,1),(1,1,-1),(-1,0,-2))$
Trovare un piano invariante

Il polinomio caratteristico è

$p(lambda) = - (lambda - 1) * (lambda + 1)^2$

per avere un piano invariante è possibile, ad esempio, prendere
il sottospazio $U$ generato da un autovettore relativo a $lambda=1$
e un autovettore relativo a $lambda=-1$:

$U = $ Span ${((0),(1),(0))$ $;$ $((1),(-1),(-1))}$

la cui equazione cartesiana risulta essere

$x + z = 0$ .

Osservo che questo non è l'unico sottospazio invariante, ma visto che
l'esercizio ne chiede uno solo...


P.S.: l'altro piano invariante ha equazione $x + y = 0$ .

[angus89]

ops...
piccolo dettaglio che ho dipenticato

se $W$ è il piano invariante allora $f|_W$ ($f$ ristretto a $W$) non deve essere diagonalizzabile...

Piuttosto...
Come mai la mia soluzione non torna?

[franced]

"angus89":ops...
piccolo dettaglio che ho dipenticato

se $W$ è il piano invariante allora $f|_W$ ($f$ ristretto a $W$) non deve essere diagonalizzabile...

La prossima volta scrivi tutto il testo dell'esercizio!

Allora tra i due piani invarianti quello che fa al caso nostro è il secondo, ovvero quello
di equazione cartesiana $x + y = 0$.

[angus89]

sisi ok
ma quello che più mi preme è capire perchè con il mio ragionamento non lo trovo
perchè non mi funziona il teorema di decomposizione primaria?

[franced]

Allora vediamo un po'..

la matrice è $A=((0,0,1),(1,1,-1),(-1,0,-2))$

tu dici che il piano invariante è generato dai vettori $e_3$ e $e_1 - e_2$;
entrambi stanno sul piano $x + y = 0$ (che è il piano che ti ho detto io).

Vediamo le immagini dei vettori $e_3$ e $e_1 - e_2$:

$A e_3 = ((1),(-1),(-2))$

$A (e_1 - e_2) = ((0),(0),(-1))$

entrambe le immagini ottenute stanno nel piano $x + y = 0$, che quindi è un piano invariante.

Quindi tutto ok!


P.S.: modifica il titolo: scrivi piano invariante .