Piano individuato da 2 rette, di cui so le equazioni param.

[S7EVIN]

Ciao a tutti, ecco questo qesercizio. Ho 2 equazioni parametriche di 2 rette. Vuole sapere se le 2 rette sono incidenti? E se sono complanari, individuare il piano da esse formato.

r: $ { ( x=1 ),( y=z ):} $

s: $ { ( x-y=0 ),( y-z=0 ):} $

per la prima domanda ho messo a sistema le 4 equazioni e trovato il punto A di intersezione tra le 2 rette A ( 1, 1, 1) Capendo ke le rette sono Incidenti.

Ma ora non so come fare per trovare il piano (se esiste) che contiene r ed s.
So che dovrei usare l' equazione del fascio di piani h(ax + by + cz +d) + k(a'x + b'y + c'z + d') = 0 con h,k scalari , e porre uno scalare ad es h = 1 eliminandolo. Ma non capisco il perchè e comunque dopo non so come continuare..

Qualche animo gentile?

[mistake89]

Prendi il fascio di piani di asse una delle due rette ed imponi che un punto dell'altra retta vi appartenga!

Quanto al parametro posto uguale ad 1, non è obbligatorio è solo per semplificare i calcoli. Si chiama fascio libero!

[S7EVIN]

e come faccio ad imporre che vi appartiene una delle 2 rette? Scrivo cosi? a1 + b(y-z) = 0 ?

[mistake89]

Beh dovrebbe essere $a(x-1)+b(y-z)=0$

[S7EVIN]

allora abbiamo che dal sistema della retta s, le coord di un punto sono tutte uguali. Se pongo Bappartentente a s. Ho che B (1,1,1) Scelte a caso soddisfano l'equazione che hai scritto. Ma per tutti gli altri valori tipo B(0,0,0) non la soddisfano. Quindi credo che non siano complanari.. ma comunque non mi è chiaro. Il fascio di asse è quindi un equazione di piano senza il termine d ?

[mistake89]

Lavoriamo con questo fascio che è più comodo nei calcoli $y-z+k(x-1)=0$. Prendiamo il punto $0,0,0$ ed imponiamo che vi appartenga $k(-1)=0$ da cui $k=0$, per cui il piano cercato è $y-z=0$

[S7EVIN]

perfetto. quindi tu hai usato k , ma potevamo usare a e b. Io sarei arrivato a conclusione che siccome l'equazione nonè verificata le 2 rette non sono complanari! Invece il piano esiste ed è y-z = 0

Hai usato il punto di coord 0,0,0 ma si poteva usare un altro qualsiasi punto o sbaglio?

Grazie, credo di aver capito qualcosa in piu.

[mistake89]

Certo, prova con il punto $(2,2,2)$ ad esempio. L'importante è che questo appartenga all'altra retta!