Piano in R^3

[sradesca]

salve a tutti vorrei farvi alcune domande sperando che qualcuno possa rispondermi: prima domanda<. come si calcola l'equazione vettoriale e parametrica del piano determinato da tre punti $R=((0),(2),(0)), S=((0),(2),(3)), T=((1),(0),(-1))$?

[Sk_Anonymous]

Per esempio:

$(S-R)=(0,0,3)$

$(T-R)=(1,-2,-1)$

$(S-R)^^(T-R)=...$

[egregio]

Dati tre punti non allineati esiste un unico piano che li contiene. Per determinare l'equazione devi trovare due direzioni. Quelle direzioni costituiranno una base per il piano(nota: 1) un piano ha dimensione 2, infatti hai due vettori linearmente indipendenti che costituiscono una base;2) l'ambiente $R^3$ ti viene espresso dal numero di coordinate di ogni punto). Il piano sarà dunque generato dai vettori della base.
Adesso, sai come si trova l'equazione vettoriale a partire da una base? e per la parametrica?

[sradesca]

si, faccio una combinazione lineare dei vettori linearmente indipendenti che costituiscono la base, quindi s*RS+t*RT+OP con OP il vettore che sommato al piano generato dalla combinazione lineare dei vettori RS e RT applicati in O (piano di giacitura) determina una traslazione in un altro punto che è l'estremo P del vettore OP. Quello che non capisco è: perché bisogna prendere come direzione del piano, dati tre punti A,B,C che lo generano, le differenze tra i vettori OB e OA , OC e OA? che sarebbero i vettori AB e AC applicati in O?

poi seconda domanda: come si fa a trovare un piano parallelo all'asse delle x e contenente la retta di equazioni parametriche ${(x=2-5t),(y=3t),(z=-t):}$? che significa che un piano contiene una retta? come si esprime questo? grazie

[Camillo]

Dall'equazione in forma parametrica della retta passa alla forma cartesiana, dovresti ottenere :
$y+3z =0 $
$x=2+5z $
Scrivi l'equazione del fascio di piani ( basta fare la combinazione lineare delle equazioni dei piani ) e poi imponi che il generico piano del fascio sia parallelo all'asse $x $ .

[Sk_Anonymous]

"simo90":
Quello che non capisco è: perché bisogna prendere come direzione del piano, dati tre punti A,B,C che lo generano, le differenze tra i vettori OB e OA , OC e OA? che sarebbero i vettori AB e AC applicati in O?

Così facendo ottieni $2$ vettori liberi che giacciono sul piano. Facendone il prodotto vettoriale, ottieni un vettore perpendicolare al piano. Era il procedimento che ti avevo proposto nel mio primo post.