Piano euclideo ampliato

[chess71]

Si consideri il piano euclideo ampliato con i punti impropri e sia $C$ la curva di equazione $x^2-y^3+x-y+1=0$.
Dire se:
a) Il punto improprio dell'asse delle $x$ appartiene a $C$
b) la retta $x-y=0$ è tangente a $C$ nell'origine
c) la retta $y=0$ è tangente a $C$


Avendo solo una leggera infarinatura sull'argomento, il quesito mi ha fatto sorgere parecchi dubbi e mi scuso in anticipo per le eventuali sciocchezze che potrei scrivere. Ci provo (spero qualcuno mi dia qualche riferimento teorico da poter studiare)

Come primo passo dovrei considerare l'equazione della curva in coordinate omogenee, e cioè:
$x_1^2x_3-x_2^3+x_1x_3^2-x_2x_3^2+x_3^3=0$

a) il punto improprio dell'asse delle $x$ è $(1,0,0)$, e appartiene alla curva
b) sulla retta tangente in $(0,0)$ non so come procedere: mi chiedo se si possa usare la
$f_x(0)(x-0)+ f_y(0)(y-0)=0$, ma ho dubbi derivanti dal fatto che questa curva è una cubica e che lo spazio è ampliato

[mistake89]

Mmm, ma l'origine a me non sembra appartenere alla curva $C$, come posso trovarne la tangente? Sicura sia giusta l'equazione?

[chess71]

si

quindi la b) è errata
rimane da discutere la c)

[mistake89]

Il fatto è che la b) non ha senso. Se un punto non appartiene alla conica $C$ non ha senso chiedere se la retta tangente a $C$ in quel punto ha una data forma. Non è sbagliata non ha proprio senso.

Per la c) ti basta intersecare la retta con $C$ e vedere se ha delle intersezioni con $C$.

[chess71]

ok, grazie