Piano di due rette
Ho due rette, $r$ e $s$.
Ho le equazioni parametriche e cartesiane di entrambe le rette.
Ho i valori di due punti appartenenti ad $r$ e di un punto appartenente a $s$.
Devo calcolare l'equazione del piano $beta$ che contiene entrambe le rette.
Due rette sono complanari quando il determinante della matrice A è 0. La matrice A è la matrice le cui righe sono le equazioni cartesiane delle due rette. Basta questo per sapere che sono complanari? Ed una volta che so che sono complanari, come proseguo?
Grazie mille!
Ho le equazioni parametriche e cartesiane di entrambe le rette.
Ho i valori di due punti appartenenti ad $r$ e di un punto appartenente a $s$.
Devo calcolare l'equazione del piano $beta$ che contiene entrambe le rette.
Due rette sono complanari quando il determinante della matrice A è 0. La matrice A è la matrice le cui righe sono le equazioni cartesiane delle due rette. Basta questo per sapere che sono complanari? Ed una volta che so che sono complanari, come proseguo?
Grazie mille!
Risposte
Scusa, non ho capito la faccenda della matrice, ma puoi fare molto semplicemente così: prendi il vettore direzionale di una retta e moltiplicalo vettorialmente con il vettore P-Q (con P uno dei punti su r e Q il punto su s). Se dalla rappresentazione di una retta vedi che ad esempio quella passa per l'origine, puoi anche semplificare i conti.
Con il prodotto vettoriale dei due vettori qui sopra, ottieni proprio il vettore direzionale del piano (poiché è perpendicolare ad entrambi), e nell'equazione del piano generico con quel vettore direzionale non ti resta che imporre il passaggio per un punto a caso di una delle due rette.
Si può usare lo stesso procedimento con il determinante di una matrice, che però conosco in modo diverso da come l'hai descritta..
Con il prodotto vettoriale dei due vettori qui sopra, ottieni proprio il vettore direzionale del piano (poiché è perpendicolare ad entrambi), e nell'equazione del piano generico con quel vettore direzionale non ti resta che imporre il passaggio per un punto a caso di una delle due rette.
Si può usare lo stesso procedimento con il determinante di una matrice, che però conosco in modo diverso da come l'hai descritta..
Riguardo la matrice, in pratica se ho le rette:
$r : \{(4y - z -7 = 0),(5x + 8z + 34 = 0):}$
e
$s : \{(2x + y + 3z + 12 = 0),(5x + 8z + 34 = 0):}$
Sono complanari se il determinante della seguente matrice è 0:
$((4,0,-1,-7),(5,0,8,34),(2,1,3,12),(5,0,8,34))$
Per il resto del tuo post, ci ho capito veramente poco! Potresti essere più esplicativo? Grazie!
$r : \{(4y - z -7 = 0),(5x + 8z + 34 = 0):}$
e
$s : \{(2x + y + 3z + 12 = 0),(5x + 8z + 34 = 0):}$
Sono complanari se il determinante della seguente matrice è 0:
$((4,0,-1,-7),(5,0,8,34),(2,1,3,12),(5,0,8,34))$
Per il resto del tuo post, ci ho capito veramente poco! Potresti essere più esplicativo? Grazie!
Ok. Intanto scusa per il mio "direzionale", qui pare che tutti dicano "direttore"..
Allora, se prendi due vettori e ne calcoli il prodotto vettoriale sei d'accordo che il vettore che ottieni è perpendicolare a entrambi?
Inoltre, avendo una retta e un piano su cui questa giace sei d'accordo che i rispettivi vettori sono perpendicolari?
Ora, siccome non so se il caso di due rette parallele possa dare problemi, io prima ho detto quel che ho detto per evitare questi problemi. Comunque, se le due rette NON sono parallele, e di questo ti accorgi guardando i vettori direttori, allora sono incidendi in un punto (se sono sghembe o sono coincidenti il tuo professore è simpatico).
Nel caso delle rette incidenti, se calcoli il prodotto vettore dei due vettori direttori (e siccome hai detto che hai le forme parametriche i vettori li hai sotto gli occhi), come abbiamo detto, trovi un vettore perpendicolare ad entrambi, e che quindi è il vettore direttore del piano!
Avrai quindi $ax+by+cz+d=0$, in cui conosci tutti i coefficienti tranne $d$, avendo tu il vettore direttore $(a,b,c)$.
Siccome così di piani ne hai infiniti, per trovare quello che contiene le tue rette puoi imporre l'appartenenza di uno dei punti che hai detto di avere. Basterà perché il piano contenga le rette.
Se invece le due rette non sono incidenti in un punto, allora non so se si può usare Solo questo prodotto vettoriale.
Perdonami per non aver fatto i conti con le due rette che hai scritto, ma potevano a caso tanto per farmi capire cosa intendessi..
Allora, se prendi due vettori e ne calcoli il prodotto vettoriale sei d'accordo che il vettore che ottieni è perpendicolare a entrambi?
Inoltre, avendo una retta e un piano su cui questa giace sei d'accordo che i rispettivi vettori sono perpendicolari?
Ora, siccome non so se il caso di due rette parallele possa dare problemi, io prima ho detto quel che ho detto per evitare questi problemi. Comunque, se le due rette NON sono parallele, e di questo ti accorgi guardando i vettori direttori, allora sono incidendi in un punto (se sono sghembe o sono coincidenti il tuo professore è simpatico).
Nel caso delle rette incidenti, se calcoli il prodotto vettore dei due vettori direttori (e siccome hai detto che hai le forme parametriche i vettori li hai sotto gli occhi), come abbiamo detto, trovi un vettore perpendicolare ad entrambi, e che quindi è il vettore direttore del piano!
Avrai quindi $ax+by+cz+d=0$, in cui conosci tutti i coefficienti tranne $d$, avendo tu il vettore direttore $(a,b,c)$.
Siccome così di piani ne hai infiniti, per trovare quello che contiene le tue rette puoi imporre l'appartenenza di uno dei punti che hai detto di avere. Basterà perché il piano contenga le rette.
Se invece le due rette non sono incidenti in un punto, allora non so se si può usare Solo questo prodotto vettoriale.
Perdonami per non aver fatto i conti con le due rette che hai scritto, ma potevano a caso tanto per farmi capire cosa intendessi..
Allora, dimmi un po' se ho capito..
Controllo se sono complanari.
Poi calcolo un vettore parallelo e concorde ad una retta ed un vettore parallelo e concorde all'altra retta.
Ora, prima di dare per scontato che sia incidenti, controllo se solo paralleli i due vettori.
Nel caso siano incidenti, calcolo il prodotto vettoriale tra questi due vettori, in quanto risulterebbe un terzo vettore perpendicolare ai due vettori e quindi alle due rette.
Ma se scopro che i due vettori sono paralleli e, quindi, sono parallele le rette?
Controllo se sono complanari.
Poi calcolo un vettore parallelo e concorde ad una retta ed un vettore parallelo e concorde all'altra retta.
Ora, prima di dare per scontato che sia incidenti, controllo se solo paralleli i due vettori.
Nel caso siano incidenti, calcolo il prodotto vettoriale tra questi due vettori, in quanto risulterebbe un terzo vettore perpendicolare ai due vettori e quindi alle due rette.
Ma se scopro che i due vettori sono paralleli e, quindi, sono parallele le rette?
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