Piano contenente una retta e parallelo ad un piano

[BreakingNICOLE]

Buongiorno, nuovamente avrei bisogno del vostro aiuto, questa volta in argomento di fasci di piani:

Ho il seguente piano \(\displaystyle \alpha: x+y-z=1 \)
\(\displaystyle r: \{x=t;
y=2t;
z=3t. \)

So che esiste un piano \(\displaystyle \beta \) contenente \(\displaystyle r \) e parallelo a \(\displaystyle \alpha \).

Di \(\displaystyle \alpha \) ho trovato la normale ovvero \(\displaystyle n\alpha(1,1,-1) \) e da essa mi ricavo la direzione del piano cambiando di segno un valore, o sbaglio? \(\displaystyle v\alpha(1,-1,1) \) quindi ora ho la direzione del piano parallelo ad esso, anche se non sono sicura di come ho calcolato la direzione.

Ora devo imporre che il vettore direzionale della retta r sia perpendicolare a \(\displaystyle n\alpha \)
\(\displaystyle Vr(1,2,3)\cdot(1,1,-1) \) faccio il prodotto scalare e trovo che è uguale a 0. Molto bene so che r è parallelo ad \(\displaystyle \alpha \)

Da qui in poi buio totale, ho provato ad utilizzare questa equazione:
\(\displaystyle \alpha(x-xo)+\beta(y-yo)+ \gamma(z-z0)=0 \)

Nelle soluzioni trovo questo: \(\displaystyle \lambda(-2x-3\mu)x+\lambda y+\mu z=0 \)

Non ho capito come sono arrivati a questa conclusione.
Potreste aiutarmi?

[Seneca1]

In realtà qui è molto semplice. Si vede subito che $x + y - z = 0$ è il piano che cerchi.
E' parallelo al piano dato e contiene la retta.

[Sk_Anonymous]

C'è un po' di confusione nel calcolo del fascio che hai fatto. Le equazioni di r, eliminando il parametro t, si possono scrivere come segue:
\(\displaystyle r: \begin{cases}2x-y=0\\3x-z=0\end{cases} \)
Pertanto l'equazione del fascio di piani avente come asse la retta r è :
$lambda(2x-y)+mu(3x-z)=0$
oppure :
(1) $(2lambda+3mu)x-lambda y -mu z=0$
Imponendo il parallelismo tra il piano generico del fascio ed il piano dato, si ha il sistema:
$(2lambda+3mu)/1=-{lambda}/1={mu}/1$
la cui soluzione è $lambda=-mu$
Sostituendo nella (1) si ha appunto :
$x+y-z=0$

[BreakingNICOLE]

non ho ben compreso i passaggi da:

"ciromario":
Imponendo il parallelismo tra il piano generico del fascio ed il piano dato, si ha il sistema:
$(2lambda+3mu)/1=-{lambda}/1={mu}/1$
la cui soluzione è $lambda=-mu$
Sostituendo nella (1) si ha appunto :
$x+y-z=0$

[Sk_Anonymous]

Due piani sono paralleli se i coefficienti delle incognite x,y,z, che figurano nelle rispettive equazioni, sono proporzionali e ciò giustifica le relazioni :
$(2lambda+3mu)/1=-(lambda)/1=(mu)/1$
Da queste relazioni, eguagliando la prima espressione alla seconda e la seconda alla terza , risulta il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases} \frac{2\lambda+3\mu}{1}=-\frac{\lambda}{1}\\-\frac{\lambda}{1}=\frac{\mu}{1}\end{cases} \)
Con qualche facile calcolo si vede che tale sistema equivale all'unica equazione :
$lambda+mu=0$ da cui $lambda=-mu$
Sostituendo questo valore di $lambda$ nell'equazione (1) del fascio si ha :
$(-2mu+3mu)x+mu y -mu z=0$
Ovvero :
$mu x+mu y-mu z=0$
Infine dividendo per $mu$ risulta appunto :
$x+y-z=0$
C.V.D.

[BreakingNICOLE]

Grazie infinite mi è stato di grande aiuto