Piano contenente una retta e parallelo a un' altra
Salve a tutti. Ho l' esame domani e mi sento abbastanza preparato, ma avrei questo problemino che mi tiene in scacco:
determinare un'equazione cartesiana del piano S contenente la retta $r$ intersezione dei due piani
$S1=2x-3y+z-1=0$
$S2=x-y-3=0$
e parallelo alla retta $s$ con direzione $v(0,1,2)$.
So per certo che la forma vettoriale del piano sarà così
$P+<(1,1,1),h(0,1,2)>$
con $P$ appartenente a $r$, e $h$ reale. $(1,1,1)$ è la direzione di $r$. Tuattavia nn so a che mi serva.
Non avendo nessun punto(è questo che mi mette in difficoltà), ma solo la direzione ho pensato al fatto che essendo l' equazione del generico piano
$ax+by+cz+d=0$ esso dovrà avere $(a,b,c)$ che moltiplicato per $(0,1,2)$ avrà prodotto vettoriale nullo (se sono paralleli).
Quindi mi costruisco il fascio di piani contenente $r$ :
$h(2x-3y+z-1)+k(x-y-3)=0$ , trovarmi $(a,b,c)$ e imporre prodotto vettoriale nullo con $(0,1,2)$. Giusto? trovati $h$ e $k$ il gioco è fatto. E' giusto come ragionamento? ci sono vie molto più semplici per trovarsi UNA, e dico una, equazione cartesiana di questo benedetto piano?
Considerando che il prodotto vettoriale nn l' ha nemmeno spiegato, ci deve essere per forza un' altra via...
determinare un'equazione cartesiana del piano S contenente la retta $r$ intersezione dei due piani
$S1=2x-3y+z-1=0$
$S2=x-y-3=0$
e parallelo alla retta $s$ con direzione $v(0,1,2)$.
So per certo che la forma vettoriale del piano sarà così
$P+<(1,1,1),h(0,1,2)>$
con $P$ appartenente a $r$, e $h$ reale. $(1,1,1)$ è la direzione di $r$. Tuattavia nn so a che mi serva.
Non avendo nessun punto(è questo che mi mette in difficoltà), ma solo la direzione ho pensato al fatto che essendo l' equazione del generico piano
$ax+by+cz+d=0$ esso dovrà avere $(a,b,c)$ che moltiplicato per $(0,1,2)$ avrà prodotto vettoriale nullo (se sono paralleli).
Quindi mi costruisco il fascio di piani contenente $r$ :
$h(2x-3y+z-1)+k(x-y-3)=0$ , trovarmi $(a,b,c)$ e imporre prodotto vettoriale nullo con $(0,1,2)$. Giusto? trovati $h$ e $k$ il gioco è fatto. E' giusto come ragionamento? ci sono vie molto più semplici per trovarsi UNA, e dico una, equazione cartesiana di questo benedetto piano?
Considerando che il prodotto vettoriale nn l' ha nemmeno spiegato, ci deve essere per forza un' altra via...
Risposte
La strada più semplice è quella che hai indicato te...Un'altra via sarebbe questa ( sempre però col prodotto scalare). Chiamo $(a,b,c)$ il vettore direzionale della normale al piano richiesto. Impongo che sia :
$(a,b,c). (0,1,2)=0$ da cui ho $b=-2c$ e quindi l'equazione del piano voluto è :
(1) $ax-2cy+cz+d=0$
Ora non resta che imporre che tale piano passi per la retta r, in modo da poter ricavare i parametri $a,c , d$ che andranno poi sostituti nella (1). E' un procedimento possibile ma mi sembra un tantino più tortuoso del primo...
Allora da $S_1$ ricavo:
$y=x-3$
mentre da $S_2$ ho:
$z=-2x+3y+1=-2x+3x-9+1=x-8$
Sostituisco tali valori di y e z nella (1) e si ha :
$(a-c)x+(d-2c)=0$
Dovendo tale relazione essere verificata quale che sia x , deve risultare:
$a-c=0,d-2c=0$, ovvero $ a=c,d=2c $ e sostituendo nella (1) si ha il piano cercato :
$x-2y+z+2=0$
$(a,b,c). (0,1,2)=0$ da cui ho $b=-2c$ e quindi l'equazione del piano voluto è :
(1) $ax-2cy+cz+d=0$
Ora non resta che imporre che tale piano passi per la retta r, in modo da poter ricavare i parametri $a,c , d$ che andranno poi sostituti nella (1). E' un procedimento possibile ma mi sembra un tantino più tortuoso del primo...
Allora da $S_1$ ricavo:
$y=x-3$
mentre da $S_2$ ho:
$z=-2x+3y+1=-2x+3x-9+1=x-8$
Sostituisco tali valori di y e z nella (1) e si ha :
$(a-c)x+(d-2c)=0$
Dovendo tale relazione essere verificata quale che sia x , deve risultare:
$a-c=0,d-2c=0$, ovvero $ a=c,d=2c $ e sostituendo nella (1) si ha il piano cercato :
$x-2y+z+2=0$
Salve ragazzi
Potete aiutarmi a risolvere questo es?
Determinare un'equazione cartesiana del piano S di $E^3$ contente la retta r: $\{(3x-2y-2=0),(4x-y+2z-1=0):}$ e ortogonale al piano S': 2x-2y-z=0. I piani S e S' sono incidenti?
Grazie mille in anticipo
Potete aiutarmi a risolvere questo es?
Determinare un'equazione cartesiana del piano S di $E^3$ contente la retta r: $\{(3x-2y-2=0),(4x-y+2z-1=0):}$ e ortogonale al piano S': 2x-2y-z=0. I piani S e S' sono incidenti?
Grazie mille in anticipo
ti trovi il fascio di piani contenenti la retta $r$, dopodiché imponi che $a a'+b b'+c c'=0$ dove $a,b,c$ non sono altro che i coefficienti delle cartesiane dei due piani $ax+by+cz+d=0$( un po' come per le rette, il prodotto scalare deve essere nullo). Da lì ti ricavi $h$ e $k$,, li sostituisci al generico piano contenente $r$ e il gioco è fatto. O almeno questo sembra a me il modo più veloce, ce ne sono anche altri (trovarsi la giacitura contenente $r$ + vettore ortogonale a $S$ ...ecc.)
GRAZIE MILLE!! 
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