Piano contenente r e parallelo a s
Salve a tutti, sarà una stupidata, ma non riesco a capire questo semplice quesito. Qualcuno mi potrebbe spiegare come fare?
Ho le 2 rette:
r: $\{(y - z + 1 = 0),(2x + 3y + z = 0):}$
s: $\{(x = t),(y = -t),(z = 2t):}$
Determinare il piano contenente r e parallelo a s.
Se fosse stato " il piano passa per le due rette", avrei applicato il metodo del fascio, ma così sono completamente spiazzato..
Scusate ma sono proprio negato...
Ho le 2 rette:
r: $\{(y - z + 1 = 0),(2x + 3y + z = 0):}$
s: $\{(x = t),(y = -t),(z = 2t):}$
Determinare il piano contenente r e parallelo a s.
Se fosse stato " il piano passa per le due rette", avrei applicato il metodo del fascio, ma così sono completamente spiazzato..
Scusate ma sono proprio negato...
Risposte
Puoi continuare a ragionare in termini di fasci... Prendi tutti i piani contenti $r$: formano un fascio ed è pure facile calcolarlo, combinando linearmente le due equazioni di $r$. Adesso applica la condizione di parallelismo ad $s$ che pure non mi pare difficile... hai difficoltà?
Per essere parallelo ad $s$, il piano deve contenere il suo vettore di direzione. Inoltre sai che contiene tutta la retta $r$. Quindi se $r$ ed $s$ non sono parallele ti basta considerare il piano di giacitura generata dai vettori di direzione delle due rette e passante per un punto qualsiasi di $r$. Così forse mi sembra più immediato.
La condizione di parallelismo dice che dovrei avere una retta appartenente al piano ma anche parallela alla retta s, ma io non ho una retta che soddisfa queste condizioni... in effetti ho un po di difficoltà, questo tipo di esercizio non mi era mai capitato fin ad ora..
Non è che potreste spiegarmi come applicare la condizione di parallelismo? Scusate se faccio domande idiote ma questa materia davvero mi mette in difficoltà...
Non è che potreste spiegarmi come applicare la condizione di parallelismo? Scusate se faccio domande idiote ma questa materia davvero mi mette in difficoltà...
"Atm0sf3ar":
Salve a tutti, sarà una stupidata, ma non riesco a capire questo semplice quesito. Qualcuno mi potrebbe spiegare come fare?
Ho le 2 rette:
r: $\{(y - z + 1 = 0),(2x + 3y + z = 0):}$
s: $\{(x = t),(y = -t),(z = 2t):}$
Determinare il piano contenente r e parallelo a s.
Se fosse stato " il piano passa per le due rette", avrei applicato il metodo del fascio, ma così sono completamente spiazzato..
Scusate ma sono proprio negato...
Io trasformerei intanto la retta $r$ in forma parametrica:
r: $\{(y - z + 1 = 0),(2x + 3y + z = 0):} rArr r: \{(x = -1/2 - 2t),(y=t),(z = 1 + t):}$
In questo modo dai coefficienti del parametro ottieni in vettore di direzione $v_r=(-2,1,1)$ della retta $r$. Nel medesimo modo puoi vedere il vettore di direzione $v_s=(1,-1,2)$ della retta $s$. Ora: il piano che cerchiamo contiene la retta $r$ (quindi il suo vettore di direzione sta nella giacitura del piano) ed inoltre sappiamo che deve essere parallelo ad $s$ (quindi anche il suo vettore di direzione appartiene al piano). Da qui, ottieni due vettori della giacitura del piano ed un punto $A=(-1/2,0,1)$ che sicuramente sta sul piano (in quanto $A\inr$). Ora hai tutti gli elementi che ti servono e trovi il piano:
$\pi: \{(x=-1/2-2t_1+t_2),(y=t_1-t_2),(z=1+t_1+2t_2):}$
In alternativa, una volta trovato il vettore di direzione $v_s=(1,-1,2)$ potevi calcolare la retta $h$ parallela ad $s$ e passante per un punto (a tua scelta) di $r$ e quindi trovare il piano generato da $r$ e la nuova retta $h$.
Cavolo! Non avevo proprio considerato la forma parametrica del piano, in pratica essendo che l' equazione parametrica è costituita da 2 vettori associati e un punto appartenente al piano, mi trovo subito il piano in forma parametrica... non ci sarei mai arrivato, dato che ero abituato a ragionare solo con le equazioni cartesiane di piani mentre le parametriche le consideravo solo per le rette...
Scusate se ho riscritto una considerazione ovvia sull' equazione parametrica del piano, ma era giusto per capire.
Adesso ho capito come si procede. Grazie mille!!
Scusate se ho riscritto una considerazione ovvia sull' equazione parametrica del piano, ma era giusto per capire.
Adesso ho capito come si procede. Grazie mille!!
Injo ti ha presentato una visione algebrica del problema, basata sul concetto di giacitura. Non ho controllato i calcoli ma in linea teorica il procedimento è corretto.
Volendo ragionare più geometricamente, io farei così. Tutti i piani contenenti $r$ li otteniamo al variare di $lambda, mu!=0$ così
$lambda(y-z+1)+mu(2x+3y+z)=0$. Semplifichiamo: $pi(lambda, mu):\ (2mu)x+(lambda+3mu)y+(-lambda+mu)z+lambda=0$.
E' facile imporre che $pi$ sia parallelo ad $s$ dal momento che quest'ultima retta è descritta da equazioni parametriche. Basta andare a sostituire.
Infatti, $s$ passa per l'origine. $pi$ no, perché c'è quel termine $lambda$ scompagnato. Consideriamo allora $pi_0(lambda, mu):\ (2mu)x+(lambda+3mu)y+(-lambda+mu)z=0$, parallelo a $pi$ ma passante per l'origine. Se ci pensi un attimo, $pi, s$ sono paralleli se e solo se $s$ è contenuta in $pi_0$.
Questo è molto facile da verificare, basta sostituire ad $x,y,z$ l'equazione parametrica di $s$ e poi trovare $lambda, mu$ tali che questa equazione sia vera per ogni $t$. In pratica, consideriamo
$(2mu)t+(lambda+3mu)-t+(-lambda+mu)2t=0$, vogliamo che sia vero per ogni $t$. Supponiamo $t!=0$ (per $t=0$ è verificato qualunque siano $lambda, mu$), dividiamo per $t$ e otteniamo l'equazione omogenea in $lambda, mu$
$mu-3lambda=0$, una cui soluzione è $lambda=1, mu=3$. Nota che $lambda=0, mu=0$ è una soluzione, ma va scartata a priori.
Fine: il piano $6x+10y+2z+1=0$ risolve il nostro problema.
Questa maniera di procedere, basata sui parametri omogenei $lambda, mu$, è tipica della geometria proiettiva dove trova una completa spiegazione teorica. Nel frattempo ti aiuta a risolvere problemi come questo facendo pochissimi calcoli.
Volendo ragionare più geometricamente, io farei così. Tutti i piani contenenti $r$ li otteniamo al variare di $lambda, mu!=0$ così
$lambda(y-z+1)+mu(2x+3y+z)=0$. Semplifichiamo: $pi(lambda, mu):\ (2mu)x+(lambda+3mu)y+(-lambda+mu)z+lambda=0$.
E' facile imporre che $pi$ sia parallelo ad $s$ dal momento che quest'ultima retta è descritta da equazioni parametriche. Basta andare a sostituire.
Infatti, $s$ passa per l'origine. $pi$ no, perché c'è quel termine $lambda$ scompagnato. Consideriamo allora $pi_0(lambda, mu):\ (2mu)x+(lambda+3mu)y+(-lambda+mu)z=0$, parallelo a $pi$ ma passante per l'origine. Se ci pensi un attimo, $pi, s$ sono paralleli se e solo se $s$ è contenuta in $pi_0$.
Questo è molto facile da verificare, basta sostituire ad $x,y,z$ l'equazione parametrica di $s$ e poi trovare $lambda, mu$ tali che questa equazione sia vera per ogni $t$. In pratica, consideriamo
$(2mu)t+(lambda+3mu)-t+(-lambda+mu)2t=0$, vogliamo che sia vero per ogni $t$. Supponiamo $t!=0$ (per $t=0$ è verificato qualunque siano $lambda, mu$), dividiamo per $t$ e otteniamo l'equazione omogenea in $lambda, mu$
$mu-3lambda=0$, una cui soluzione è $lambda=1, mu=3$. Nota che $lambda=0, mu=0$ è una soluzione, ma va scartata a priori.
Fine: il piano $6x+10y+2z+1=0$ risolve il nostro problema.
Questa maniera di procedere, basata sui parametri omogenei $lambda, mu$, è tipica della geometria proiettiva dove trova una completa spiegazione teorica. Nel frattempo ti aiuta a risolvere problemi come questo facendo pochissimi calcoli.
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