Piano con angolo
Trova il piano P che contiene la retta r di equazioni : x + y + z - 1 = 0 e x - z = 0 e che forma un angolo di 60 gradi con l'asse x
Scrivo subito l'equazione del fascio di piani contenete la retta r: T( x + y + z - 1 ) + S ( x - z ) = 0
adesso per facilitare i calcoli elimino un parametro - ed è qui che cominciano i problemi -
Tengo conto del fatto che l' angolo tra un piano e una retta (nel mio caso la retta è l'asse x con vettore direzione (1,0,0) ) è dato dall'angolo tra il vettore direzione della retta normale al piano e il vettore direzione della retta (1,0,0) , ovvero, devo fare 90 - 60 = 30 gradi
Tolgo quindi il parametro T, in questo modo perdo il piano x - z = 0 : devo chiedermi se è questo il piano cercato e allora vado a vedere che angolo forma la sua normale col vettore direzione dell'asse x, per fare questo sfrutto la formula del coseno
(1 , 0 , -1 ) ( 1, 0, 0 ) / 2 ^ 1/2 = 1/ 2 ^ 1/2 che è diverso dal coseno di 30 gradi, ne deduco che non è il piano da me cercato ....e procedo con l'esercizio, adesso l'equazione del fascio è diventata
x + y + z -1 + S ( x - z ) = 0
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Non sentendomi sicura ho provato a vedere cosa succede se invece elimino il parametro S: in questo caso perdoil piano x + y + z - 1 = 0 , stessa domanda di prima : è il piano giusto?
Riapplico la formula del coseno
( 1 , 1, 1 ) ( 1, 0, 0 ) / 3 ^ 1/2 = 1 / 3 ^ 1/2 diverso da 1/2 il cos(30) e nuovamente ne deuduco che non è il piano esatto
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sicuramente c'è qualcosa di sbagliato, ma allo stesso tempo mi sembra d'aver seguito fedelmente la definizione di angolo retta-piano...
purtoppo sviluppando in tutti e due i modi si ottengono risultati diversi... e allora?](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Scrivo subito l'equazione del fascio di piani contenete la retta r: T( x + y + z - 1 ) + S ( x - z ) = 0
adesso per facilitare i calcoli elimino un parametro - ed è qui che cominciano i problemi -
Tengo conto del fatto che l' angolo tra un piano e una retta (nel mio caso la retta è l'asse x con vettore direzione (1,0,0) ) è dato dall'angolo tra il vettore direzione della retta normale al piano e il vettore direzione della retta (1,0,0) , ovvero, devo fare 90 - 60 = 30 gradi
Tolgo quindi il parametro T, in questo modo perdo il piano x - z = 0 : devo chiedermi se è questo il piano cercato e allora vado a vedere che angolo forma la sua normale col vettore direzione dell'asse x, per fare questo sfrutto la formula del coseno
(1 , 0 , -1 ) ( 1, 0, 0 ) / 2 ^ 1/2 = 1/ 2 ^ 1/2 che è diverso dal coseno di 30 gradi, ne deduco che non è il piano da me cercato ....e procedo con l'esercizio, adesso l'equazione del fascio è diventata
x + y + z -1 + S ( x - z ) = 0
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Non sentendomi sicura ho provato a vedere cosa succede se invece elimino il parametro S: in questo caso perdoil piano x + y + z - 1 = 0 , stessa domanda di prima : è il piano giusto?
Riapplico la formula del coseno
( 1 , 1, 1 ) ( 1, 0, 0 ) / 3 ^ 1/2 = 1 / 3 ^ 1/2 diverso da 1/2 il cos(30) e nuovamente ne deuduco che non è il piano esatto
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sicuramente c'è qualcosa di sbagliato, ma allo stesso tempo mi sembra d'aver seguito fedelmente la definizione di angolo retta-piano...
purtoppo sviluppando in tutti e due i modi si ottengono risultati diversi... e allora?
Risposte
grazie mille, proprio non sapevo come fare...allora cerco di fare un pò di pratica e prossimamente riscriverò le formule, mi rendo conto che così sono un pò incasinate 
Suggerisco anche di accorciare le sfilze di "--------------". Sono così lunghe che sul mio schermo (1024x768) rendono necessario scorrere il testo per visualizzarlo tutto.
$(( 1 0 0 )( 1 0 -1))/ ($sqrt(2)$)$ ho fatto delle prove con la prima formula ma come faccio a mettere radice di due sotto la linea frazionaria?
sennò provo così $(100)(10-1)$ / $sqrt(2)$ sempre meglio di prima...e dopo un pò di anteprime riscrivo il post, scusate, sono sempre stata un'imbranata col computer
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Trova il piano P che contiene la retta r di equazioni : ${(x + y + z - 1 = 0),(x - z = 0):}$ e che forma un angolo di 60 gradi con l'asse x
Scrivo subito l'equazione del fascio di piani contenete la retta r: $T( x + y + z - 1 ) + S ( x - z ) = 0$
adesso per facilitare i calcoli elimino un parametro - ed è qui che cominciano i problemi -
Tengo conto del fatto che l' angolo tra un piano e una retta (nel mio caso la retta è l'asse x con vettore direzione (1,0,0) ) è dato dall'angolo tra il vettore direzione della retta normale al piano e il vettore direzione della retta (1,0,0) , ovvero, devo fare 90 - 60 = 30 gradi
Tolgo quindi il parametro T, in questo modo perdo il piano x - z = 0 : devo chiedermi se è questo il piano cercato e allora vado a vedere che angolo forma la sua normale col vettore direzione dell'asse x, per fare questo sfrutto la formula del coseno
$(1 , 0 , -1 )( 1, 0, 0 )$ / $sqrt(2)$ = $1$ / $sqrt(2)$ che è diverso dal coseno di 30 gradi, ne deduco che non è il piano da me cercato ....e procedo con l'esercizio, adesso l'equazione del fascio è diventata
$x + y + z -1 + S ( x - z ) = 0$
Non sentendomi sicura ho provato a vedere cosa succede se invece elimino il parametro S: in questo caso perdoil piano x + y + z - 1 = 0 , stessa domanda di prima : è il piano giusto?
Riapplico la formula del coseno
$( 1 , 1, 1 )( 1, 0, 0 )$ / $sqrt(3)$ = $1$ / $sqrt(3)$ diverso da $1/2$ il cos(30) e nuovamente ne deuduco che non è il piano esatto
sicuramente c'è qualcosa di sbagliato, ma allo stesso tempo mi sembra d'aver seguito fedelmente la definizione di angolo retta-piano...
purtoppo sviluppando in tutti e due i modi si ottengono risultati diversi... e allora?
sennò provo così $(100)(10-1)$ / $sqrt(2)$ sempre meglio di prima...e dopo un pò di anteprime riscrivo il post, scusate, sono sempre stata un'imbranata col computer
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Trova il piano P che contiene la retta r di equazioni : ${(x + y + z - 1 = 0),(x - z = 0):}$ e che forma un angolo di 60 gradi con l'asse x
Scrivo subito l'equazione del fascio di piani contenete la retta r: $T( x + y + z - 1 ) + S ( x - z ) = 0$
adesso per facilitare i calcoli elimino un parametro - ed è qui che cominciano i problemi -
Tengo conto del fatto che l' angolo tra un piano e una retta (nel mio caso la retta è l'asse x con vettore direzione (1,0,0) ) è dato dall'angolo tra il vettore direzione della retta normale al piano e il vettore direzione della retta (1,0,0) , ovvero, devo fare 90 - 60 = 30 gradi
Tolgo quindi il parametro T, in questo modo perdo il piano x - z = 0 : devo chiedermi se è questo il piano cercato e allora vado a vedere che angolo forma la sua normale col vettore direzione dell'asse x, per fare questo sfrutto la formula del coseno
$(1 , 0 , -1 )( 1, 0, 0 )$ / $sqrt(2)$ = $1$ / $sqrt(2)$ che è diverso dal coseno di 30 gradi, ne deduco che non è il piano da me cercato ....e procedo con l'esercizio, adesso l'equazione del fascio è diventata
$x + y + z -1 + S ( x - z ) = 0$
Non sentendomi sicura ho provato a vedere cosa succede se invece elimino il parametro S: in questo caso perdoil piano x + y + z - 1 = 0 , stessa domanda di prima : è il piano giusto?
Riapplico la formula del coseno
$( 1 , 1, 1 )( 1, 0, 0 )$ / $sqrt(3)$ = $1$ / $sqrt(3)$ diverso da $1/2$ il cos(30) e nuovamente ne deuduco che non è il piano esatto
sicuramente c'è qualcosa di sbagliato, ma allo stesso tempo mi sembra d'aver seguito fedelmente la definizione di angolo retta-piano...
purtoppo sviluppando in tutti e due i modi si ottengono risultati diversi... e allora?
Ma perché elimini i due parametri? Scusa, stai ragionando benissimo, ma ti perdi in considerazioni inutili! Il piano generico che ottieni dall'equazione del fascio è
$(T+S)x+Ty+(T-S)z-1=0$
il cui vettore normale è
$n=(T+S,T,T-S)$.
A questo punto basta ricavare per quali valori di $T$ ed $S$ tu abbia che il coseno dell'angolo tra il vettore $n$ e il vettore $(1,0,0)$ è pari a $\sqrt{3}/2$ e il gioco è fatto.
$(T+S)x+Ty+(T-S)z-1=0$
il cui vettore normale è
$n=(T+S,T,T-S)$.
A questo punto basta ricavare per quali valori di $T$ ed $S$ tu abbia che il coseno dell'angolo tra il vettore $n$ e il vettore $(1,0,0)$ è pari a $\sqrt{3}/2$ e il gioco è fatto.
@ ciampax
quindi dovrei imporre: $(T+S , T , T-S)( 1, 0 , 0 )$ / $InI$ = $1/2$
dove $InI$ sta per norma di n, non sapendo come fare le stanghette ho usato la i maiuscola
e otterrei T= $+-$ S $sqrt(2)$
...quindi vale a dire che ci sono ben 2 piani che contengono la retta e formano un angolo di 60 gradi con l'asse x
grazie mille
infatti è strano, questo metodo dovrebbe servire per semplificare la vita, ma non fa altro che complicarla... mi sarebbe piaciuto capire come funziona
quindi dovrei imporre: $(T+S , T , T-S)( 1, 0 , 0 )$ / $InI$ = $1/2$
dove $InI$ sta per norma di n, non sapendo come fare le stanghette ho usato la i maiuscola
e otterrei T= $+-$ S $sqrt(2)$
...quindi vale a dire che ci sono ben 2 piani che contengono la retta e formano un angolo di 60 gradi con l'asse x
grazie mille
infatti è strano, questo metodo dovrebbe servire per semplificare la vita, ma non fa altro che complicarla... mi sarebbe piaciuto capire come funziona
Ci sono due cose che non capisco:
1) perché $=1/2$ ? Non devi fare il coseno dell'angolo di 30 gradi? e quindi $\sqrt{3}/2$ ?
2) Sei sicura che vengano due soluzioni? rifletti bene, perché è possibile che una delle due vada scartata!
1) perché $=1/2$ ? Non devi fare il coseno dell'angolo di 30 gradi? e quindi $\sqrt{3}/2$ ?
2) Sei sicura che vengano due soluzioni? rifletti bene, perché è possibile che una delle due vada scartata!
1)hai ragione! pur avendo fatto 90-60=30 continuavo a guardare il coseno di 60
2)è vero, ora devo ripetere il calcolo... mettiamo che rivengono 2 soluzioni: in fondo è stato imposto che l'angolo sia di 30 gradi e il fascio è quello che contiene la retta r...le condizioni dovrebbero essere soddisfatte
pur avendo fatto 90-60=30 continuavo a guardare il coseno di 60 2)è vero, ora devo ripetere il calcolo... mettiamo che rivengono 2 soluzioni: in fondo è stato imposto che l'angolo sia di 30 gradi e il fascio è quello che contiene la retta r...le condizioni dovrebbero essere soddisfatte
Esatto! 
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