Piano che contiene due rette
vi pongo qualche dubbio circa questa mia risoluzione (sperando che non siano sbagliati i conti questa volta)
l'esercizio mi chiede di calcolare equazione cartesiana di una retta $t$ per $Q(1,1,2)$ complanare ad $r$ ed $s$.
ove $r:\{(3x - 5y + z+1 =0),(2x - 3z + 9= 0):}$ ed $s:\{(x+5y-3 = 0),(2x+2y- 7z +7 = 0):}$
io ho pensato di individuare dapprima il piano $\pi=[Q A B]$ dove $Ainr$ e $Bins$, nella fattispecie $A(0,4/5,3)$ e $B(3,0,10/7)$
in questo modo mi basterebbe impostare il parallelismo tra $t$ e $\pi$ per far sì che $t$ giaccia sul piano $\pi$
è giusto questo ragionamento, o ci sono altre vie?
Ciò nonostante, il piano trovato non risponde alle mie esigenze, in quanto prendendo un altro punto a caso sulla retta $r$ esso non appartiene al piano, e ciò è evidentemente sbagliato.
Grazie ancora per l'aiuto e buon anno!
l'esercizio mi chiede di calcolare equazione cartesiana di una retta $t$ per $Q(1,1,2)$ complanare ad $r$ ed $s$.
ove $r:\{(3x - 5y + z+1 =0),(2x - 3z + 9= 0):}$ ed $s:\{(x+5y-3 = 0),(2x+2y- 7z +7 = 0):}$
io ho pensato di individuare dapprima il piano $\pi=[Q A B]$ dove $Ainr$ e $Bins$, nella fattispecie $A(0,4/5,3)$ e $B(3,0,10/7)$
in questo modo mi basterebbe impostare il parallelismo tra $t$ e $\pi$ per far sì che $t$ giaccia sul piano $\pi$
è giusto questo ragionamento, o ci sono altre vie?
Ciò nonostante, il piano trovato non risponde alle mie esigenze, in quanto prendendo un altro punto a caso sulla retta $r$ esso non appartiene al piano, e ciò è evidentemente sbagliato.
Grazie ancora per l'aiuto e buon anno!
Risposte
Io credo (aspettiamo gli esperti xD) che dobbiamo vedere i vettori direttori di $r$ e di $s$
se i vettori direttori di $r$ ed $s$ sono uguali dovrebbero essere complanari.
Io mi sono trovata le equazioni in forma parametrica delle due rette $r$ ed $s$ e i vettori direttori non coincidono.
per $s$ mi viene:
$x=3-5t$
$y=t$
$z=(13/7)-(8/7)*y$
e il vettore direttore dovrebbe essere: $V=(-5,1,-8/7)$
per $r$ mi viene invece come vettore direttore: $V_r=(15/11,1,5/11)$
Quindi immagino che la retta $t$ debba seguire una volta i vettori direttori di $r$, poi di $s$ e forse fare l'intersezione?
(se è tutto sbagliato il mio ragionamento, ne chiedo scusa)
se i vettori direttori di $r$ ed $s$ sono uguali dovrebbero essere complanari.
Io mi sono trovata le equazioni in forma parametrica delle due rette $r$ ed $s$ e i vettori direttori non coincidono.
per $s$ mi viene:
$x=3-5t$
$y=t$
$z=(13/7)-(8/7)*y$
e il vettore direttore dovrebbe essere: $V=(-5,1,-8/7)$
per $r$ mi viene invece come vettore direttore: $V_r=(15/11,1,5/11)$
Quindi immagino che la retta $t$ debba seguire una volta i vettori direttori di $r$, poi di $s$ e forse fare l'intersezione?
(se è tutto sbagliato il mio ragionamento, ne chiedo scusa)
Grazie per la tua risposta!
se ragioniamo a livello di equazioni vettoriali allora abbiamo che $r$ ed $s$ sono complanari se e solo se $u,v,AB$ sono linearmente dipendenti, dove ho chiamato $u$ e $v$ i vettori che generano lo spazio direttore delle due rette rispettivamente.
ma credo si possa procedere anche per via analitica no?
se ragioniamo a livello di equazioni vettoriali allora abbiamo che $r$ ed $s$ sono complanari se e solo se $u,v,AB$ sono linearmente dipendenti, dove ho chiamato $u$ e $v$ i vettori che generano lo spazio direttore delle due rette rispettivamente.
ma credo si possa procedere anche per via analitica no?
Io vedendo quei vettori direttori diversi in $r$ ed $s$ non sono sicuro che queste due rette sono complanari tra loro,
Ho fatto passare la generica equazione della retta $t$ per il punto noto $Q$ e viene:
$x=x_0+ta$
$y=y_0+tb$
$z=z_0+tc$
io ad $a,b,c$ affinchè sia complanare ad r, metterei il vettore direttore di $r$ e lo stesso con $s$
Io non riesco a capire se il testo vuole che la retta $t$ sia contemporaneamente *complanare* ad r e s
O provare una volta la complanarita con $r$ e un altra volta con $s$
Ho fatto passare la generica equazione della retta $t$ per il punto noto $Q$ e viene:
$x=x_0+ta$
$y=y_0+tb$
$z=z_0+tc$
io ad $a,b,c$ affinchè sia complanare ad r, metterei il vettore direttore di $r$ e lo stesso con $s$
Io non riesco a capire se il testo vuole che la retta $t$ sia contemporaneamente *complanare* ad r e s
O provare una volta la complanarita con $r$ e un altra volta con $s$
sisi contemporaneamente... la soluzione è una sola retta!
Innanzitutto ti faccio notare che $B$ non appartiene ad $s$.
In ogni caso la tua soluzione non va bene, perchè nessuno ti assicura che la retta $t$ che trovi passa per $Q$ e poi non sono nemmeno certo che sia complanare ad $r$ e ad $s$ (ci dovrei pensare meglio).
La mia idea è questa:
Due rette sono complanari se e solo se sono parallele (caso 1) oppure sono incidenti (caso 2). (giusto?)
La retta $t$ che cerchi è complanare ad $r$. Inoltre $t$ passa per $Q$.
In ambedue i casi la retta $t$ è contenuta nel piano che contiene tutta $r$ e il punto $Q$.
Se non ho fatto male i conti, questo piano dovrebbe essere $\alpha: 13x-25y+8z-8=0$.
Ti consiglio di controllare i miei conti perchè le feste sono vicine e il mio tasso alcolico è alto
Con discorso analogo $t$ è contenuta nel piano che contiene tutta $s$ e il punto $Q$, ovvero nel piano $\beta: 3x+7y-7z+4=0$.
Quindi la retta $t$ dovrebbe avere equazione
$t:{(13x-25y+8z-8=0),(3x+7y-7z+4=0):}
Che ne dici della mia soluzione?
Buon anno!
In ogni caso la tua soluzione non va bene, perchè nessuno ti assicura che la retta $t$ che trovi passa per $Q$ e poi non sono nemmeno certo che sia complanare ad $r$ e ad $s$ (ci dovrei pensare meglio).
La mia idea è questa:
Due rette sono complanari se e solo se sono parallele (caso 1) oppure sono incidenti (caso 2). (giusto?)
La retta $t$ che cerchi è complanare ad $r$. Inoltre $t$ passa per $Q$.
In ambedue i casi la retta $t$ è contenuta nel piano che contiene tutta $r$ e il punto $Q$.
Se non ho fatto male i conti, questo piano dovrebbe essere $\alpha: 13x-25y+8z-8=0$.
Ti consiglio di controllare i miei conti perchè le feste sono vicine e il mio tasso alcolico è alto
Con discorso analogo $t$ è contenuta nel piano che contiene tutta $s$ e il punto $Q$, ovvero nel piano $\beta: 3x+7y-7z+4=0$.
Quindi la retta $t$ dovrebbe avere equazione
$t:{(13x-25y+8z-8=0),(3x+7y-7z+4=0):}
Che ne dici della mia soluzione?
Buon anno!
"cirasa":
Innanzitutto ti faccio notare che $B$ non appartiene ad $s$.
In ogni caso la tua soluzione non va bene, perchè nessuno ti assicura che la retta $t$ che trovi passa per $Q$ e poi non sono nemmeno certo che sia complanare ad $r$ e ad $s$ (ci dovrei pensare meglio).
La mia idea è questa:
Due rette sono complanari se e solo se sono parallele (caso 1) oppure sono incidenti (caso 2). (giusto?)
La retta $t$ che cerchi è complanare ad $r$. Inoltre $t$ passa per $Q$.
In ambedue i casi la retta $t$ è contenuta nel piano che contiene tutta $r$ e il punto $Q$.
Se non ho fatto male i conti, questo piano dovrebbe essere $\alpha: 13x-25y+8z-8=0$.
Ti consiglio di controllare i miei conti perchè le feste sono vicine e il mio tasso alcolico è alto
Con discorso analogo $t$ è contenuta nel piano che contiene tutta $s$ e il punto $Q$, ovvero nel piano $\beta: 3x+7y-7z+4=0$.
Quindi la retta $t$ dovrebbe avere equazione
$t:{(13x-25y+8z-8=0),(3x+7y-7z+4=0):}
Che ne dici della mia soluzione?
Buon anno!
Grazie mille Cirasa ho capito...
la mia idea era invece trovare un piano che contenesse da subito il punto $Q$ e le due rette $r$ ed $s$. A quel punto avrei avuto un'equazione del piano $\pi:ax+by+cz+d=0$ a quel punto bastava porre $al+bm+cn=0$ ed imporre che passasse per $Q$. Dove $l,m,n$ sono i parametri direttori della mia retta $t$. E' sbagliata come idea?
"mistake89":
la mia idea era invece trovare un piano che contenesse da subito il punto $Q$ e le due rette $r$ ed $s$. A quel punto avrei avuto un'equazione del piano $\pi:ax+by+cz+d=0$ a quel punto bastava porre $al+bm+cn=0$ ed imporre che passasse per $Q$. Dove $l,m,n$ sono i parametri direttori della mia retta $t$. E' sbagliata come idea?
Il problema è che non è detto che il piano che contiene $r$ ed $s$ contiene anche il punto $Q$. E infatti, come mostrano i conti (che devi controllare) che ho fatto prima, il piano che contiene $r$ e il punto $Q$ è diverso dal piano che contiene $s$ e il punto $Q$!
sto cercando di immaginarmi graficamente le cose... Comunque era un dubbio lecito che non mi sono posto, ed ecco perchè mi venivano fuori i conti sballati.
Se avessi osservato subito che le rette sono sghembe...
Grazie ancora e buon anno!
Se avessi osservato subito che le rette sono sghembe...
Grazie ancora e buon anno!
Vorrei chiedere anche io cirasa, io avevo pensato che bisognasse vedere da subito se $r$ ed $s$ fosse complanari.
E ho usato i *vettori direttori*.
Ora quella $t$ bisogna vederla come intersezione di piani (quello contenente il punto $Q$ e $r$ , e quello contenente $Q$ ed $s$)
Per avere le equazione del 1 piano avrei preso due punti a piacere su $r$ più $Q$ noto appartenente al piano e avrei fatto la matrice o l'equazione del fascio di piani passante per $Q$ e un punto su $r$
Poteva andare bene cosi?
E ho usato i *vettori direttori*.
Ora quella $t$ bisogna vederla come intersezione di piani (quello contenente il punto $Q$ e $r$ , e quello contenente $Q$ ed $s$)
Per avere le equazione del 1 piano avrei preso due punti a piacere su $r$ più $Q$ noto appartenente al piano e avrei fatto la matrice o l'equazione del fascio di piani passante per $Q$ e un punto su $r$
Poteva andare bene cosi?
"clever":
Per avere le equazione del 1 piano avrei preso due punti a piacere su $r$ più $Q$ noto appartenente al piano e avrei fatto la matrice o l'equazione del fascio di piani passante per $Q$ e un punto su $r$
Poteva andare bene cosi?
Se fissi due punti $A$ e $B$ a piacere su $r$ (determinandone le coordinate), noto il punto $Q!in r$, devi determinare l'unico piano passante per i tre punti (che -ti faccio notare- sono affinemente indipendenti).
Io invece ho fatto in un altro modo: ho scritto l'equazione del fascio di piani passanti per la retta $r$ e poi ho imposto che $Q$ vi appartesse, ottenendo il piano cercato.
Credo che intendessi dire questo, vero?
xD intendevo la prima parte che hai detto...dunque non va bene.
Ecco come è *l'equazione del fascio di piani passanti per una generica retta*?
Ecco come è *l'equazione del fascio di piani passanti per una generica retta*?
Se la retta $r$ ha equazione
$r:\{(3x - 5y + z+1 =0),(2x - 3z + 9= 0):}$
il fascio di piani passanti per $r$ ha equazione
[tex]\mu(3x - 5y + z+1)+\lambda(2x - 3z + 9)=0[/tex] (*)
oppure
[tex]3x - 5y + z+1+\lambda(2x - 3z + 9)=0[/tex] (**)
Osserva che in (**) "perdi" il piano di equazione [tex]2x - 3z + 9=0[/tex].
$r:\{(3x - 5y + z+1 =0),(2x - 3z + 9= 0):}$
il fascio di piani passanti per $r$ ha equazione
[tex]\mu(3x - 5y + z+1)+\lambda(2x - 3z + 9)=0[/tex] (*)
oppure
[tex]3x - 5y + z+1+\lambda(2x - 3z + 9)=0[/tex] (**)
Osserva che in (**) "perdi" il piano di equazione [tex]2x - 3z + 9=0[/tex].
Sarò ignorante, ma cosa intendi per **si perde** il piano di equazione?
ti faccio un esempio concreto...
supponiamo di imporre il passaggio per il punto $P(3,0,5)$
fai un pò di calcoli ed ottieni $15=0$ il che è evidentemente una contraddizione. Ma ciò vuol dire $P$ appartiene proprio al piano $2x-3z+9=0$
la (**) è chiamata appunto equazione del fascio aperto!
supponiamo di imporre il passaggio per il punto $P(3,0,5)$
fai un pò di calcoli ed ottieni $15=0$ il che è evidentemente una contraddizione. Ma ciò vuol dire $P$ appartiene proprio al piano $2x-3z+9=0$
la (**) è chiamata appunto equazione del fascio aperto!
Più chiaro ora, grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo