Piani paralleli e passanti per un punto dato

[Mammuthone]

Salve a tutti.
Ormai mi arrendo a postare qua, dopo aver googlato tutta internet.
Infatti è così che ho conosciuto il forum: mi veniva restituito come risultato della ricerca.

L'aiuto che vorrei chiedervi riguarda uno dei 5 esercizi facenti parte di un testo d'esame e di cui non ho la più pallida idea di come risolverlo.

Trovare le equazioni cartesiane del piano parallelo al piano [tex]α : x - y = 0[/tex] e passante per il punto A di
coordinate [tex](3,0,√2)[/tex]

Non ho la più pallida idea di come risolvere questo esercizio, quindi vi chiedo scusa anticipatamente se non ho postato nemmeno un tentativo.

Grazie.

[minomic]

Ciao e benvenuto.
Il piano che vuoi deve essere parallelo a quello dato, quindi avrà lo stesso vettore normale al piano, cioè $(1, -1, 0)$. Sarà quindi nella forma$$
x-y+d=0
$$Imponiamo il passaggio per il punto $(3, 0, \sqrt{2})$ sostituendo le coordinate e otteniamo $d=-3$.
In definitiva il piano richiesto è$$x-y-3=0.$$

[Mammuthone]

Ciao e grazie a te.
Scusa la domanda, ma ti chiedo una variante:
Se il piano, invece che parallelo, fosse stato perpendicolare?
Te lo chiedo perché essendo un interrogazione orale, potrebbe chiedere delle varianti

[minomic]

Se fosse stato ortogonale il vettore normale al nuovo piano avrebbe dovuto essere ortogonale al vettore normale al vecchio piano. Chiamando $(a, b, c)$ il vettore normale al nuovo piano avresti dovuto imporre$$
\left \langle(a, b, c), (1, -1, 0) \right \rangle = 0 \Rightarrow a-b = 0
$$Spero di non aver fatto errori.