Piani e proiezioni su piani in $ R^3 $
Salve a tutti!
Volevo chiedere il vostro parere per la risoluzione di un problema di geometria in $ R^3 $.
Questo è il problema:
Nello spazio, riferito a un sistema ortonormale, si considerino i punti A(2,3,0) e B(1,2,3) e il piano $ p: x-y+2z+1=0 $.
1) Si determini il piano $ s $ passante per B e parallelo a $ p $
2) Si determini la proiezione ortogonale A' di A sul piano $ s $
Io ho provato a risolverlo così:
1) Dalla definizioni di piano in $ R^3 $: per calcolare $ s $ avrei bisogno del punto di passaggio (B) e di un vettore ortogonale al piano.
Il piano $ s $ deve essere parallelo a $ p $ e quindi ogni vettore ortogonale a $ p $ è anche ortogonale a $ s $. Avendo l'equazione in forma cartesiana $ ax+by+cz+d=0 $ del piano $ p $ il vettore ortogonale P sarà P($ a $, $ b $, $ c $)=(1,-1,2).
L'equazione del piano sarà: $ 1($ x $ - 1) + -1($ y $ -2) + 2($ z $ -3) = 0 $ ~ $ x-y +2z-5=0 $ (Il risultato mi sembra accettabile dato che per i due piani cambia solamente la variabile $ d $).
2) Il piano $ s $ ha un vettore perpendicolare P(1,-1,2) che mi indica la direzione di una qualunque retta perpendicolare al piano.
Posso far passare una retta $ r $ per il punto A che abbia come direzione il vettore P.
Sicuramente la retta $ r $ incontra il piano in un punto A'.
Dal punto di vista pratico ho fatto così (spero in una vostra conferma):
2a) Trovo la retta in forma parametrica che passa per A ed è parallela a P:
$ x=2+t $
$ y=3-t $
$ z=2t $
E' un sistema: scusatemi ma non so come mettere la graffa (help!)
2b) Calcolo il punto di incontro
Ho usato la formula $ t=-(ax'+by'+cz'+d)/(al+bm+cn)$ dove: ($ x' $, $ y' $, $ z' $) sono le coordinare del punto dove passa la retta, cioè A(2,3,0); ($ a $, $ b $, $ c $, $ d $) sono le variabili del piano cioè (1,-1,2,-5); ($ l $, $ m $, $ n $) rappresentano le coordinate del vettore direttore della retta, cioè P(1,-1,2).
Nei calcoli ($ a $, $ b $, $ c $) e ($ l $, $ m $, $ n $) sono uguali perchè coordinate dello stesso vettore. A me risulta $ t = 1 $.
Andando a sostituire ottengo il punto I(3,2,2), che altri non è che A+P ( (2,3,0)+(1,-1,2).
3) Verifica
Siccome il punto appartiene al piano, per verificare inserisco le coordinate del vettore trovato nell'equazione del piano. Risultato: appartiene.
Come ulteriore verifica ho calcolato A'B*AA' e risulta 0, quindi i due vettori (A'B appartenente al piano e AA' perpendicolare a quest'ultimo) sono perpendicolari.
Questo metodo è un po' macchinoso però, a mio parere, è intuitivo. Mi chiedevo se qualcuno di voi saprebbe risolverlo in qualche altro modo.
Io avevo pensato anche di trovare le basi ortonormali del piano, trovare un vettore AP rispetto alla base trovata e calcolare la proiezione con il teorema di Gram-Schmidt e l'aiuto della matrice di Gram.
Scusate se non riesco a rispondere in serata ma vado a letto che sono distrutto. Ciao e grazie per le vostre risposte.
Volevo chiedere il vostro parere per la risoluzione di un problema di geometria in $ R^3 $.
Questo è il problema:
Nello spazio, riferito a un sistema ortonormale, si considerino i punti A(2,3,0) e B(1,2,3) e il piano $ p: x-y+2z+1=0 $.
1) Si determini il piano $ s $ passante per B e parallelo a $ p $
2) Si determini la proiezione ortogonale A' di A sul piano $ s $
Io ho provato a risolverlo così:
1) Dalla definizioni di piano in $ R^3 $: per calcolare $ s $ avrei bisogno del punto di passaggio (B) e di un vettore ortogonale al piano.
Il piano $ s $ deve essere parallelo a $ p $ e quindi ogni vettore ortogonale a $ p $ è anche ortogonale a $ s $. Avendo l'equazione in forma cartesiana $ ax+by+cz+d=0 $ del piano $ p $ il vettore ortogonale P sarà P($ a $, $ b $, $ c $)=(1,-1,2).
L'equazione del piano sarà: $ 1($ x $ - 1) + -1($ y $ -2) + 2($ z $ -3) = 0 $ ~ $ x-y +2z-5=0 $ (Il risultato mi sembra accettabile dato che per i due piani cambia solamente la variabile $ d $).
2) Il piano $ s $ ha un vettore perpendicolare P(1,-1,2) che mi indica la direzione di una qualunque retta perpendicolare al piano.
Posso far passare una retta $ r $ per il punto A che abbia come direzione il vettore P.
Sicuramente la retta $ r $ incontra il piano in un punto A'.
Dal punto di vista pratico ho fatto così (spero in una vostra conferma):
2a) Trovo la retta in forma parametrica che passa per A ed è parallela a P:
$ x=2+t $
$ y=3-t $
$ z=2t $
E' un sistema: scusatemi ma non so come mettere la graffa (help!)
2b) Calcolo il punto di incontro
Ho usato la formula $ t=-(ax'+by'+cz'+d)/(al+bm+cn)$ dove: ($ x' $, $ y' $, $ z' $) sono le coordinare del punto dove passa la retta, cioè A(2,3,0); ($ a $, $ b $, $ c $, $ d $) sono le variabili del piano cioè (1,-1,2,-5); ($ l $, $ m $, $ n $) rappresentano le coordinate del vettore direttore della retta, cioè P(1,-1,2).
Nei calcoli ($ a $, $ b $, $ c $) e ($ l $, $ m $, $ n $) sono uguali perchè coordinate dello stesso vettore. A me risulta $ t = 1 $.
Andando a sostituire ottengo il punto I(3,2,2), che altri non è che A+P ( (2,3,0)+(1,-1,2).
3) Verifica
Siccome il punto appartiene al piano, per verificare inserisco le coordinate del vettore trovato nell'equazione del piano. Risultato: appartiene.
Come ulteriore verifica ho calcolato A'B*AA' e risulta 0, quindi i due vettori (A'B appartenente al piano e AA' perpendicolare a quest'ultimo) sono perpendicolari.
Questo metodo è un po' macchinoso però, a mio parere, è intuitivo. Mi chiedevo se qualcuno di voi saprebbe risolverlo in qualche altro modo.
Io avevo pensato anche di trovare le basi ortonormali del piano, trovare un vettore AP rispetto alla base trovata e calcolare la proiezione con il teorema di Gram-Schmidt e l'aiuto della matrice di Gram.
Scusate se non riesco a rispondere in serata ma vado a letto che sono distrutto. Ciao e grazie per le vostre risposte.
Risposte
2) Eh! il modo è quello, oppure avere l'equazione cartesiana della retta ($r$) e risolvere il sistema:
$rn(((x-2), 1),((y-3),-1),(z,2)) =1 =>$
$=>r:{ (2(y-3)+z=0),(2(x-2)-z=0):}$.
${(2y+z=6),(2x-z=2), (x-y+2z = 5):}$.
Ma questo è più laborioso!
$rn(((x-2), 1),((y-3),-1),(z,2)) =1 =>$
$=>r:{ (2(y-3)+z=0),(2(x-2)-z=0):}$.
${(2y+z=6),(2x-z=2), (x-y+2z = 5):}$.
Ma questo è più laborioso!
Eh si è un po' più laborioso, però non ci avevo proprio pensato.
Grazie.
Grazie.
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