Piani contenenti una retta e paralleli agli assi

[FabioIT11]

Salve, vorrei un aiuto sul seguente esercizio:

Data la retta di equazione

$\{(2x + y - 3z + 1 = 0),(x - 3y + 2z + 5 = 0):}$

Determinare i piani $p,q,r$ contenenti la retta e paralleli rispettivamente agli assi $x,y,z$

Ho pensato che essendo $ax+by+c+d=0$ la generica equazione del piano nello spazio, $(1,0,0)$ $(0,1,0)$ $(0,0,1)$ i parametri direttori $(l,m,n)$ degli assi coordinati $x,y,z$, la condizione di parallelismo tra retta e piano è $al+bm+cn=0$ . Affinché un piano contenga una retta deve essere $|(a,b,c),(2,1,-3),(1,-3,2)| = 0 => a+b+c=0$ e preso un generico punto appartenete alla retta, ad esempio $(-8/7,9/7,0)$, esso deve soddisfare anche l'equazione del piano dunque deve essere $-8/7a+9/7b+d=0$

Però impostando per i tre piani un' equazione del genere ottengo infinite soluzioni chiaramente... quindi non un solo piano, dove sbaglio?

grazie a chi mi risponde

[Sk_Anonymous]

Perchè non prendi $k(2x+y-3z+1)+(x-3y+2z+5)=0$ come equazione del piano generico contenente quella retta? Così puoi determinare in modo più elementare le componenti $(2k+1,k-3,-3k+2)$ di un vettore perpendicolare al piano generico e, risolvendo rispettivamente le $3$ equazioni $2k+1=0$, $k-3=0$, $-3k+2=0$, concludere l'esercizio.

[FabioIT11]

alla fine c'ero arrivato anche col primo metodo, però hai ragione così è più semplice e immediato, grazie