Perplessità sulla geometria
In questo esercizio:
Siano dati nello spazio, il punto A(1,0,-1) il piano [tex]\alpha)x-y+1=0[/tex] e la retta [tex]r)x=2y-z=0[/tex]
Devo determinare il simmetrico di A rispetto al piano e l' equazione del piano passante per r e parallelo ad alfa.
Per fare la prima parte vorrei trovare la retta passante per a e ortogonale ad alfa, trovare l' intersezione con alfa per avere il punto medio di AA' e ricavare il simmetrico A'.
Il vettore direzionale di alfa dovrebbe essere [tex]w(1,-1,0)[/tex]
E applicando la formula per ricavare un retta passante per un punto e parallela ad un vettore avrei:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=t+1\\
y=-t\\
z=-1\end{matrix}\right.[/tex]
Se fosse corretta dovrei fare il sistema con il piano alfa per trovare l' intersezione....però non risulta qualcosa perchè avrei:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x-y+1=0\\
x-1=0\\
-y=0\\
z=-1\end{matrix}\right.[/tex]
Potreste dirmi cosa non va e spiegarmi direttamente come fare?
Per il secondo punto dovrei considerare l' equazione del fascio di piani contenente r e imporre poi la condizione di parallelismo tra i vettori direzionali.
[tex]\lambda(x)+\mu(2y-2)[/tex]
Fisso [tex]\frac{\mu}{\lambda}=h[/tex]
[tex]x+2hy-hz=0[/tex]
Il vettore direzionale dovrebbe essere:
[tex]v(1,2h,-h)[/tex]
per alfa [tex]W(1,-1,0)[/tex]
Però se provo a verificare la condizione di parallelismo cioè che [tex]V_xW_y-V_yW_x=.......=0[/tex] non ottengo un valore di h che verifichi il sistema......quindi o non esiste tale piano contenente r e parallelo ad alfa, o cosa più certa, avrei bisogno di capire cosa sbaglio
Siano dati nello spazio, il punto A(1,0,-1) il piano [tex]\alpha)x-y+1=0[/tex] e la retta [tex]r)x=2y-z=0[/tex]
Devo determinare il simmetrico di A rispetto al piano e l' equazione del piano passante per r e parallelo ad alfa.
Per fare la prima parte vorrei trovare la retta passante per a e ortogonale ad alfa, trovare l' intersezione con alfa per avere il punto medio di AA' e ricavare il simmetrico A'.
Il vettore direzionale di alfa dovrebbe essere [tex]w(1,-1,0)[/tex]
E applicando la formula per ricavare un retta passante per un punto e parallela ad un vettore avrei:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x=t+1\\
y=-t\\
z=-1\end{matrix}\right.[/tex]
Se fosse corretta dovrei fare il sistema con il piano alfa per trovare l' intersezione....però non risulta qualcosa perchè avrei:
[tex]\left\{\begin{matrix}
x-y+1=0\\
x-1=0\\
-y=0\\
z=-1\end{matrix}\right.[/tex]
Potreste dirmi cosa non va e spiegarmi direttamente come fare?
Per il secondo punto dovrei considerare l' equazione del fascio di piani contenente r e imporre poi la condizione di parallelismo tra i vettori direzionali.
[tex]\lambda(x)+\mu(2y-2)[/tex]
Fisso [tex]\frac{\mu}{\lambda}=h[/tex]
[tex]x+2hy-hz=0[/tex]
Il vettore direzionale dovrebbe essere:
[tex]v(1,2h,-h)[/tex]
per alfa [tex]W(1,-1,0)[/tex]
Però se provo a verificare la condizione di parallelismo cioè che [tex]V_xW_y-V_yW_x=.......=0[/tex] non ottengo un valore di h che verifichi il sistema......quindi o non esiste tale piano contenente r e parallelo ad alfa, o cosa più certa, avrei bisogno di capire cosa sbaglio
Risposte
Nel primo caso, una volta che hai ottenuto l'equazione parametrica della retta, per trovare l'intersezione con il piano è sufficiente sostituire l'equazione della retta nell'equazione del piano e risolvere per [tex]t[/tex]. Cioè
[tex](t + 1) - (-t) + 1 = 0[/tex]
trovando quindi
[tex]2t + 2 = 0[/tex]
cioè
[tex]t = -1[/tex].
Il simmetrico dovrebbe allora corrispondere a [tex]t = -2[/tex], essere cioè [tex](-1, 2, -1)[/tex].
Per il secondo dovrei darci un'occhiata più attenta, ma direi che conviene tenere entrambi i parametri [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] (stai espressamente ignorando il caso in cui sia [tex]\lambda = 0[/tex]). Due vettori paralleli hanno lo stesso vettore normale (quello che tu chiami vettore direzionale) per cui è sufficiente confrontare quelli. Devi cioè avere che [tex](\lambda, 2 \mu, -2 \mu) = (1, -1, 0)[/tex], cosa che non mi sembra possibile.
[tex](t + 1) - (-t) + 1 = 0[/tex]
trovando quindi
[tex]2t + 2 = 0[/tex]
cioè
[tex]t = -1[/tex].
Il simmetrico dovrebbe allora corrispondere a [tex]t = -2[/tex], essere cioè [tex](-1, 2, -1)[/tex].
Per il secondo dovrei darci un'occhiata più attenta, ma direi che conviene tenere entrambi i parametri [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] (stai espressamente ignorando il caso in cui sia [tex]\lambda = 0[/tex]). Due vettori paralleli hanno lo stesso vettore normale (quello che tu chiami vettore direzionale) per cui è sufficiente confrontare quelli. Devi cioè avere che [tex](\lambda, 2 \mu, -2 \mu) = (1, -1, 0)[/tex], cosa che non mi sembra possibile.
Mh...quindi sostituisci l' equazione della retta a quella del pino per trovare l' intersezione? Ma io vorrei avere una terna di valori per ottenere il punto, è sbagliato fare il sistema come ho fatto io? Mi verrebbe meglio a trovare il simmetrico se conosco le coordinate del punto di intersezione, non so come le hai ricavate conoscendo t.
Per il secondo punto, ti sembra perciò che si possa rispondere che non esiste piano contenete r parallelo ad alfa?
Per il secondo punto, ti sembra perciò che si possa rispondere che non esiste piano contenete r parallelo ad alfa?
Le coordinate di un punto sulla retta sono, al variare del parametro [tex]t[/tex], [tex](t+1, -t, -1)[/tex]. Un punto qualsiasi appartiene al piano se le sue coordinate rispettano l'equazione del piano, per cui possiamo trovare il parametro [tex]t[/tex] semplicemente sostituendo nell'equazione del piano e quindi risolvere per [tex]t[/tex] l'equazione corrispondente. È il metodo che normalmente si usa quando si cerca l'intersezione tra due oggetti geometrici, uno dei quali espresso in forma parametrica e l'altra cartesiana. Il tuo metodo è sbagliato perché hai eliminato dalle equazioni della retta il parametro [tex]t[/tex], senza questo parametro stai solo verificando se un particolare punto appartiene al piano. Scrivendo invece il parametro nel sistema, ottieni semplicemente il metodo che ho già eseguito direttamente nella mia soluzione di sostituire le incognite che hai trovato in funzione di [tex]t[/tex], all'interno della prima equazione del piano.
Per il secondo esercizio cerco di verificare se la retta interseca il piano, se infatti avesse intersezione non nulla con il piano, qualsiasi piano che la contenesse avrebbe intersezione non nulla con il piano e quindi non potrebbe essere a lui parallelo.
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
x - y = -1 \\
x = 0 \\
2y - z = 0
\end{array}
\right.[/tex]
Dal sistema ottengo che [tex](0, 1, 2)[/tex] è un punto in comune tra la retta e il piano e quindi non è possibile trovare un piano che rispetti le condizioni dell'esercizio.
Per il secondo esercizio cerco di verificare se la retta interseca il piano, se infatti avesse intersezione non nulla con il piano, qualsiasi piano che la contenesse avrebbe intersezione non nulla con il piano e quindi non potrebbe essere a lui parallelo.
[tex]\left\{
\begin{array}{l}
x - y = -1 \\
x = 0 \\
2y - z = 0
\end{array}
\right.[/tex]
Dal sistema ottengo che [tex](0, 1, 2)[/tex] è un punto in comune tra la retta e il piano e quindi non è possibile trovare un piano che rispetti le condizioni dell'esercizio.
Ti ringrazio tantissimo 
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