Perpendicolarità tra rette e piani

[stefano_89]

Ciao a tutti ho un problema di geometria: ho il punto A = (0, 1, 3), il piano P: x - 2z + 1 = 0 ed una retta r:${\(x = t), (y = t), (z = t):}$

Devo trovare la retta s tale che passi per A, sia parallela al piano P e ortogonale a r.
Quindi ponendo il vettore direttore r = (l, m, n), per essere parallelo a P devo imporre la condizione x - 2z = 0 (cioè l - 2n = 0). ma poi come faccio ad imporre che sia anche ortogonale a r ? Ho pensato che basterebbe imporre y - x + z = 0, cioè la perpendicolare al vettore direttore di r.
Ma le soluzioni danno come seconda condizione: x + y + z = 0

Perchè?? grazie in anticipo..

[sonic255-votailprof]

Ciao, anche io mi sto esercitando su problemini simili per l'esame di Algebra e Geometria, quindi provo a dire una mia possibile soluzione, poi magari chi ha più esperienza mi correggerà.

Allora il piano ha parametri direttori (1,0,-2) e la retta r (1,1,1). Quindi ho messo a sistema la perpendicolarita con la retta e il parallelismo col piano $\{((l,m,n)(1,1,1)=0), (l-2n=0):}$
da cui ho trovato che $\{(l+m+n=0), (l=2n):}$ , quindi $m=-3n$.
Andando a sostituire i valori trovati e imponendo il passaggio per A ho la retta s (in forma parametrica) : $\{(x=2t), (y=1-3t), (z=3+t):}$

[Alexp1]

"stefano_89":
Quindi ponendo il vettore direttore r = (l, m, n), per essere parallelo a P devo imporre la condizione x - 2z = 0 (cioè l - 2n = 0

Beh è molto semplice.....avendo $l - 2n = 0$ se poni per esempio $n=1$ otterrai $l=2$, quindi ti mancherebbe di trovare $m$....

se consideri l'equazione paramentrica generica di $s$ e sostituendo i valori trovati di $l$ e $n$ e lasciando incognito $m$, otteniamo:

$s:$$\{(x=2t), (y=mt), (z=t):}

a questo punto poniamo la condizione di perpendicolarità con la retta $r$, ossia:

$2+m+1=0$ dalla quale ricaviamo $m=-3$

dunque abbiamo ricavato l'equazione parametrica di $s$, che è

$\{(x=2t), (y=-3t), (z=t):}

a questo punto imponendo che passi per $A$ risulta:

$s:$$\{(x=2t), (y=-3t+1), (z=t+3):}

Ciao

[stefano_89]

Grazie ad entrambi.. In effetti era una sciocchezza.. XD