Perpendicolarità tra rette con determinate condizioni
allora io ho il seguente problema:
siano dati il piano $\alpha=x+y+z-1=0$ il suo punto P(1,0,0) e la retta $\r:{(x+y=0),(z=1):}$
-scrivere le equazioni delle rette di $\alpha$ che sono perpendicolari ad r ed hanno distanza =1 da P
cercando di risolvere l'esercizio, ho pensato di cercare il fascio di rette improprio del tipo $\r: ax+by+cz+Kd=0$ e di trovare quelle rette del fascio che distano 1 dal punto. Trovo i parametri direttori della retta r che a me risultano essere l=1, m=-1, n=0. Imponendo la condizione di perpendicolarità tra 2 rette ll'+mm'+nn'=0 trovo che le rette perpendicolari ad r devono avere il proprio vettore direttore del tipo $\vecV=(l,m,0)$ . Come faccio ora a trovare solo quelle retta aventi distanza 1 da P?
Ringrazio anticipatamente chi cercherà di aiutarmi, e mi scuso se ho fatto qualche errore ma è la prima volta che posto un problema
siano dati il piano $\alpha=x+y+z-1=0$ il suo punto P(1,0,0) e la retta $\r:{(x+y=0),(z=1):}$
-scrivere le equazioni delle rette di $\alpha$ che sono perpendicolari ad r ed hanno distanza =1 da P
cercando di risolvere l'esercizio, ho pensato di cercare il fascio di rette improprio del tipo $\r: ax+by+cz+Kd=0$ e di trovare quelle rette del fascio che distano 1 dal punto. Trovo i parametri direttori della retta r che a me risultano essere l=1, m=-1, n=0. Imponendo la condizione di perpendicolarità tra 2 rette ll'+mm'+nn'=0 trovo che le rette perpendicolari ad r devono avere il proprio vettore direttore del tipo $\vecV=(l,m,0)$ . Come faccio ora a trovare solo quelle retta aventi distanza 1 da P?
Ringrazio anticipatamente chi cercherà di aiutarmi, e mi scuso se ho fatto qualche errore ma è la prima volta che posto un problema
Risposte
Io farei in altro modo. Osservo che $P$ appartiene a $alpha$ e $r$ appartiene a $alpha$. Pertanto posso considerare un piano generico perpendicolare $r$. Avrà equazione $beta:x-y+k=0$. Impongo che abbia distanza $1$ dal punto $P$ ed ottengo due valori di $k$ che mi daranno due piani $beta_1,beta_2$, le rette cercate saranno $alphannbeta_1$ e $alphannbeta_2$
grazie per la risposta mistake, in questo modo sono riuscito a risolvere il rpoblema.
un'altra domanda sempre riguardante il problema:
sia data una retta $\s:{(x-2y=0),(x-z-1=0):}$ , verificare che r ed s individuano un fascio si rette e scrivere l'equazione della retta genrica del fascio.
Ora io ho messo a sistema r e s $\{(x+y=0),(z=1),(z-2y=0),(x-z-1=0):}$ ed ho verificato che si intersecano nel punto P0(0,0,1). Stiamo quindi parlando di un fascio proprio di rette. l mio dubbio è, come scrivo l'equazione generica?
un'altra domanda sempre riguardante il problema:
sia data una retta $\s:{(x-2y=0),(x-z-1=0):}$ , verificare che r ed s individuano un fascio si rette e scrivere l'equazione della retta genrica del fascio.
Ora io ho messo a sistema r e s $\{(x+y=0),(z=1),(z-2y=0),(x-z-1=0):}$ ed ho verificato che si intersecano nel punto P0(0,0,1). Stiamo quindi parlando di un fascio proprio di rette. l mio dubbio è, come scrivo l'equazione generica?
Ecco la mia idea...
Ti ricordo che siamo nello spazio e quindi una retta è identificata come intersezione di due piani... e quindi anche il nostro fascio di rette dovrà essere intersezione di piani (o per meglio dire fasci di piani). Io farei così, a te verificare la sua effettiva correttezza, prendi un piano $pi$ per il punto $P$ che hai trovato e perpendicolare alla retta $r$. Considera ora il fascio di piani di asse la retta $s$. Il fascio di rette cercato è dato dall'intersezione di $pi$ e del fascio di piani di asse $s$
Prova anche ad immaginare graficamente la cosa.
Ciao
Ti ricordo che siamo nello spazio e quindi una retta è identificata come intersezione di due piani... e quindi anche il nostro fascio di rette dovrà essere intersezione di piani (o per meglio dire fasci di piani). Io farei così, a te verificare la sua effettiva correttezza, prendi un piano $pi$ per il punto $P$ che hai trovato e perpendicolare alla retta $r$. Considera ora il fascio di piani di asse la retta $s$. Il fascio di rette cercato è dato dall'intersezione di $pi$ e del fascio di piani di asse $s$
Prova anche ad immaginare graficamente la cosa.
Ciao
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